سوال ۱۳۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

پیشامد مطلوب را $A$ می‌نامیم: یکی از سه عدد انتخاب‌شده، شمارندهٔ هر دو عدد دیگر باشد.

گام اول: شمارش کل حالت‌ها
چون ترتیب خروج کارت‌ها مهم نیست، مانند مثال انتخاب مهره‌ها در کتاب، از ترکیب استفاده می‌کنیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۴):
$n(S)=\binom{8}{3}=56$.

گام دوم: شمارش حالت‌های مطلوب
عددهای روی کارت‌ها مثبت و متمایزند؛ بنابراین عددی که شمارندهٔ دو عدد دیگر است، حتماً کوچک‌ترین عددِ انتخاب‌شده است. بر اساس این عدد، حالت‌ها را دسته‌بندی می‌کنیم:

• کوچک‌ترین عدد، $1$ باشد: چون $1$ شمارندهٔ هر عدد طبیعی است، هر دو کارت دیگری از هفت کارت باقی‌مانده مناسب‌اند. پس تعداد این حالت‌ها برابر است با:

$\binom{7}{2}=21$.

• کوچک‌ترین عدد، $2$ باشد: دو کارت دیگر باید از مضرب‌های بزرگ‌تر از $2$، یعنی مجموعهٔ $\{4,6,8\}$، انتخاب شوند. بنابراین:

$\binom{3}{2}=3$.
این انتخاب‌ها عبارت‌اند از $\{2,4,6\}$، $\{2,4,8\}$ و $\{2,6,8\}$.

• کوچک‌ترین عدد، دست‌کم $3$ باشد: عدد $3$ فقط یک مضرب بزرگ‌تر از خودش در میان کارت‌ها دارد: $6$. هر عدد از $4$ تا $8$ نیز حداکثر یک مضرب بزرگ‌تر از خودش در این مجموعه دارد. پس هیچ‌کدام نمی‌توانند شمارندهٔ دو کارت دیگر باشند.

دو دستهٔ مطلوب بالا اشتراک ندارند؛ بنابراین تعدادشان را جمع می‌کنیم؛ این همان اصل جمع برای پیشامدهای ناسازگار است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۷–۱۴۹):
$n(A)=21+3=24$.

گام سوم: محاسبهٔ احتمال
با توجه به هم‌شانس بودن انتخاب‌ها، احتمال برابر نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به کل حالت‌هاست (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۶–۱۴۷):
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$.

پاسخ: گزینهٔ ۱