سوال ۱۳۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۳۶ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۳۶ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم · سوال ۱۳۶ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۷: آمار و احتمال

در یک ظرف ۵ مهرهٔ سیاه و تعدادی مهرهٔ سبز وجود دارد. دو مهره به تصادف از ظرف خارج می‌شود، احتمال اینکه حداقل یک مهره سیاه باشد، برابر $\frac{5}{6}$ است. تعداد مهرهٔ سبز چقدر از تعداد مهرهٔ سیاه کمتر است؟

گزینهٔ ۱: $4$
گزینهٔ ۲: $3$
گزینهٔ ۳: $2$
گزینهٔ ۴: $1$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول ـ استفاده از متمم:
پیشامد «حداقل یک مهره سیاه باشد» را $A$ می‌نامیم. متمم آن، پیشامد «هر دو مهره سبز باشند» است. طبق رابطهٔ احتمال متمم داریم $P(A')=1-P(A)$ (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۷ تا ۱۴۹). بنابراین:
$P(A')=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$ .

گام دوم ـ شمارش حالت‌های انتخاب:
تعداد مهره‌های سبز را $x$ می‌گیریم؛ پس تعداد کل مهره‌ها $x+5$ است. دو مهره بدون جایگذاری خارج می‌شوند و ترتیب انتخاب آن‌ها اهمیتی ندارد؛ بنابراین، مانند مثال انتخاب مهره‌ها در کتاب، از ترکیب استفاده می‌کنیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۴):
$n(S)=\binom{x+5}{2},\qquad n(A')=\binom{x}{2}$ .
با استفاده از نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به تعداد کل حالت‌های هم‌شانس (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۶ تا ۱۴۷)، داریم:
$\frac{\binom{x}{2}}{\binom{x+5}{2}}=\frac{1}{6}$ .

گام سوم ـ حل معادله:
$\frac{x(x-1)}{(x+5)(x+4)}=\frac{1}{6}$
$\Rightarrow 6x(x-1)=(x+5)(x+4)$
$\Rightarrow 6x^2-6x=x^2+9x+20$
$\Rightarrow 5x^2-15x-20=0$
$\Rightarrow x^2-3x-4=0$
$\Rightarrow (x-4)(x+1)=0$ .
پس $x=4$ یا $x=-1$ ؛ چون تعداد مهره‌ها نمی‌تواند منفی باشد، تعداد مهره‌های سبز $4$ است.

گام چهارم ـ محاسبهٔ اختلاف خواسته‌شده:
تعداد مهره‌های سبز به اندازهٔ $5-4=1$ از تعداد مهره‌های سیاه کمتر است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: این گزینه از اشتباه گرفتن تعداد مهره‌های سبز با اختلاف خواسته‌شده به دست می‌آید؛ تعداد مهره‌های سبز $4$ است، اما سؤال اختلاف تعداد مهره‌های سیاه و سبز را می‌خواهد.
گزینهٔ ۲: خطا در شمارش حالت‌های انتخاب ممکن است به این گزینه منجر شود. اختلاف $3$ یعنی وجود $2$ مهرهٔ سبز؛ در این صورت احتمال حداقل یک مهرهٔ سیاه برابر $1-\frac{\binom{2}{2}}{\binom{7}{2}}=\frac{20}{21}$ است و با دادهٔ سؤال سازگار نیست.
گزینهٔ ۳: این گزینه می‌تواند حاصل اشتباه در محاسبهٔ تعداد مهره‌های سبز باشد. اختلاف $2$ یعنی وجود $3$ مهرهٔ سبز؛ در این صورت احتمال حداقل یک مهرهٔ سیاه برابر $1-\frac{\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}}=\frac{25}{28}$ است، نه احتمال داده‌شده.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

برای پیشامد «حداقل یک مهره سیاه»، متمم را در نظر بگیر: انتخاب چه رنگ‌هایی باعث می‌شود هیچ مهرهٔ سیاهی خارج نشود؟ رابطهٔ احتمال متمم را مرور کن.
اگر تعداد مهره‌های سبز را $x$ بگیری، تعداد کل مهره‌ها $x+5$ است. چون ترتیب انتخاب مهم نیست، احتمال انتخاب دو مهرهٔ سبز را با نسبت $\frac{\binom{x}{2}}{\binom{x+5}{2}}$ بنویس و آن را برابر احتمال متمم قرار بده.
با ساده‌کردن رابطهٔ احتمال به معادلهٔ $x^2-3x-4=0$ می‌رسی. ریشهٔ قابل‌قبول برای تعداد مهره‌ها را پیدا کن؛ سپس توجه کن که سؤال خودِ تعداد مهره‌های سبز را نمی‌خواهد.

فصل «آمار و احتمال» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.