نمونه سوال فصل ۷ ریاضی دهم با جواب

در تعریف کتاب، دو نکته هم‌زمان مطرح است: نتیجهٔ یک بار اجرای آزمایش از پیش قطعی نیست، اما حالت‌هایی که ممکن است رخ دهند، شناخته شده‌اند. همچنین، تعریف آزمایش تصادفی به هم‌شانس بودن نتیجه‌ها وابسته نیست (صفحهٔ ۱۴۲). پاسخ: گزینهٔ ۲

با استفاده از رابطهٔ اجتماع داریم: $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=\frac{3}{5}+\frac{1}{2}-\frac{4}{5}=\frac{3}{10}$. پیشامد «دقیقاً یکی» از حذف اشتراک از اجتماع حاصل می‌شود؛ بنابراین احتمال آن برابر است با $\frac{4}{5}-\frac{3}{10}=\frac{1}{2}$ (صفحه‌های ۱۴۷ و ۱۴۸). پاسخ: گزینهٔ ۴

فضای نمونه‌ای دو تاس سالم و متمایز، $36$ عضو هم‌شانس دارد (صفحه‌های ۱۴۲ و ۱۴۳). پیشامد مجموع $8$ شامل $(2،6)،(3،5)،(4،4)،(5،3)،(6،2)$ و دارای $5$ عضو است. برای ظاهر شدن دست‌کم یک $2$، تعداد حالت‌ها $6+6-1=11$ است. اشتراک این دو پیشامد شامل $(2،6)$ و $(6،2)$ است. پس با رابطهٔ اجتماع، احتمال خواسته‌شده برابر است با $\frac{5+11-2}{36}=\frac{7}{18}$ (صفحه‌های ۱۴۷ و ۱۴۸). پاسخ: گزینهٔ ۱

تعداد انتخاب‌های هم‌شانس سه مهره از مجموع $9$ مهره برابر $\binom{9}{3}=84$ است؛ این شمارش همان روش انتخاب هم‌زمان مهره‌ها در کتاب است (صفحه‌های ۱۴۶ و ۱۴۷). انتخاب تک‌رنگ به $\binom{4}{3}+\binom{3}{3}=5$ حالت و انتخاب سه‌رنگ به $4\times3\times2=24$ حالت انجام می‌شود. این دو دسته ناسازگارند. بنابراین، با استفاده از متمم، احتمال انتخاب دقیقاً دو رنگ برابر است با $1-\frac{5+24}{84}=\frac{55}{84}$ (صفحهٔ ۱۴۸). پاسخ: گزینهٔ ۳

ثبت اندازه‌گیری‌ها به مرحلهٔ جمع‌آوری داده مربوط است. رسم نمودار، سازمان‌دهی و نمایش داده‌هاست. بررسی الگوی نمودار در مرحلهٔ تحلیل و تفسیر قرار می‌گیرد و انتخاب زمان مناسب، تصمیم‌گیری نهایی است. بنابراین ترتیب درست، ثبت داده‌ها، رسم نمودار، بررسی الگو و انتخاب زمان است (صفحه‌های ۱۵۲ تا ۱۵۴). پاسخ: گزینهٔ ۲

در مثال هواشناسی کتاب، بهتر شدن تصمیم به دقیق‌تر و کامل‌تر بودن اطلاعات و مناسب‌تر بودن روش پیش‌بینی وابسته دانسته شده است. از این مطلب، تضمین قطعی پیش‌بینی به دست نمی‌آید. همچنین، علم آمار صرفاً داشتن داده یا رسم نمودار نیست و تحلیل، تفسیر و نتیجه‌گیری را نیز دربر می‌گیرد (صفحهٔ ۱۵۲). پاسخ: گزینهٔ ۱

طبق تعریف شاخص تودهٔ بدن، باید وزن را بر مربع قد تقسیم کرد (صفحهٔ ۱۵۵). مربع قد مشترک برابر $(1.5)^2=2.25$ است؛ بنابراین شاخص‌ها به‌ترتیب برابر $20$، $24$، $28$، $32$ و $36$ هستند. دو شاخص نخست در محدودهٔ طبیعی و سه شاخص دیگر به‌ترتیب در گروه‌های اضافه‌وزن، چاقی درجهٔ یک و چاقی درجهٔ دو قرار می‌گیرند. با هم‌شانس بودن انتخاب افراد، احتمال خواسته‌شده $\frac{3}{5}$ است (صفحهٔ ۱۴۶). پاسخ: گزینهٔ ۴

از رابطهٔ متمم داریم $P((A\cup B)')=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$. چون این پیشامد $6$ عضو دارد و نتیجه‌ها هم‌شانس‌اند، $\frac{6}{n(S)}=\frac{1}{5}$ و در نتیجه $n(S)=30$ است (صفحه‌های ۱۴۶ و ۱۴۸). بنابراین $n(A)=12$، $n(B)=18$ و $n(A\cup B)=24$. با رابطهٔ اجتماع، $n(A\cap B)=12+18-24=6$ می‌شود. اعضای متعلق به دقیقاً یکی از دو پیشامد، اعضای اجتماع به‌جز اشتراک‌اند؛ پس تعداد آن‌ها $24-6=18$ است (صفحه‌های ۱۴۷ و ۱۴۸). پاسخ: گزینهٔ ۳

در جدول عددی تصویر، عدد هر خانه بیانگر مقدار روشنایی یک پیکسل است؛ بنابراین مقدار روشنایی، متغیری کمی است (صفحهٔ ۱۵۴). در مقابل، گروه خونی از متغیرهای کیفی است و اختصاص کد عددی به گروه‌ها، ماهیت آن را تغییر نمی‌دهد؛ زیرا این کدها مقدار قابل اندازه‌گیری نیستند و فقط نقش برچسب دارند (صفحهٔ ۱۶۳). پاسخ: گزینهٔ ۲

با لحاظ ترتیب تولد و دو حالت برای جنسیت هر فرزند، تعداد حالت‌های ممکن $2^4=16$ است (صفحه‌های ۱۴۳ و ۱۴۴). برای متفاوت بودن جنسیت فرزند بزرگ‌تر و کوچک‌تر، دو انتخاب داریم. در هر انتخاب، این دو فرزند شامل یک دختر و یک پسرند؛ پس برای برابری تعداد دختران و پسران، دو فرزند میانی نیز باید یک دختر و یک پسر باشند که دو ترتیب دارند. بنابراین تعداد حالت‌های مطلوب $2\times2=4$ است. با هم‌شانس بودن حالت‌ها، احتمال برابر است با $P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$ (صفحهٔ ۱۴۶). پاسخ: گزینهٔ ۱

موضوع پژوهش، کیفیت کل تصویر است؛ بنابراین جامعه، همهٔ پیکسل‌های تصویر و حجم آن $1200$ است. شش پیکسل بررسی‌شده، نمونه‌اند و حجم نمونه $6$ است (صفحه‌های ۱۵۶ و ۱۵۷). هر پیکسل نیز یک خانه از جدول عددی تصویر است (صفحهٔ ۱۵۴). تعداد انتخاب‌های دوپیکسلی از نمونه برابر $\binom{6}{2}=15$ است. از سه پیکسل دارای کد $0$، تعداد $\binom{3}{2}=3$ جفت و از دو پیکسل دارای کد $1$، تعداد $\binom{2}{2}=1$ جفت هم‌کد به دست می‌آید. پیکسل دارای کد $3$ به‌تنهایی جفتی نمی‌سازد. پس احتمال برابر است با $P=\frac{3+1}{15}=\frac{4}{15}$ (صفحهٔ ۱۴۷). پاسخ: گزینهٔ ۳