سوال ۲۳ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۲۳ دفترچهٔ اختصاصی کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۲۳ · ریاضی

کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت اول · سوال ۲۳ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۷: آمار و احتمال

دو تاس را با هم پرتاب می‌کنیم. با کدام احتمال عدد ظاهرشده یکی از تاس‌ها اول بوده و مجموع آنها حداقل ۶ است؟

گزینهٔ ۱: $\frac{2}{9}$
گزینهٔ ۲: $\frac{5}{9}$
گزینهٔ ۳: $\frac{11}{18}$
گزینهٔ ۴: $\frac{13}{18}$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۲ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

ابتدا شرط‌های مسئله را مشخص می‌کنیم: حداقل یکی از دو عدد باید اول باشد و هم‌زمان مجموع آن‌ها حداقل $6$ باشد. بنابراین با اشتراک دو پیشامد روبه‌رو هستیم؛ مانند نمونه‌های ترکیب پیشامدها در کتاب (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۵ و ۱۴۶).

گام اول: شمارش کل حالت‌ها
دو تاس را متمایز در نظر می‌گیریم؛ پس نتیجهٔ پرتاب یک زوج مرتب است و داریم:
$n(S)=6\times6=36$ .
این حالت‌ها هم‌شانس‌اند؛ بنابراین احتمال مطلوب برابر نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به تعداد کل حالت‌هاست (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۶ و ۱۴۷).

گام دوم: شمارش حالت‌های دارای مجموع حداقل $6$
از روش متمم استفاده می‌کنیم؛ همان روشی که کتاب برای شرط مجموع دو تاس به کار برده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۹). مجموع‌های کمتر از $6$ عبارت‌اند از $2،3،4،5$ و به‌ترتیب $1،2،3،4$ حالت دارند. پس:
$n(\text{مجموع حداقل }6)=36-(1+2+3+4)=26$ .

گام سوم: حذف حالت‌هایی که هیچ‌کدام از تاس‌ها اول نیستند
عددهای اول روی تاس $\{2,3,5\}$ هستند؛ بنابراین عددهای غیراول آن $\{1,4,6\}$ هستند. توجه کنید که $1$ عدد اول نیست.
از میان حالت‌های مرحلهٔ قبل، حالت‌هایی که هر دو عدد غیراول‌اند عبارت‌اند از:
$\{(1,6),(6,1),(4,4),(4,6),(6,4),(6,6)\}$ .
پس باید این $6$ حالت را حذف کنیم و تعداد حالت‌های مطلوب برابر است با:
$n(A)=26-6=20$ .

گام چهارم: محاسبهٔ احتمال
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$ .

پاسخ: گزینهٔ ۲

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است به‌اشتباه شرط «هر دو تاس اول باشند» را در نظر بگیرید و از حالت‌های آن فقط $(2,2)$ را حذف کنید؛ در این صورت به $\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$ می‌رسید. اما سؤال اول‌بودن حداقل یکی از تاس‌ها را می‌خواهد؛ همچنین حالت‌های $(2,3)$ و $(3,2)$ نیز شرط مجموع را ندارند.
گزینهٔ ۳: اگر عدد $1$ را هم اول بدانید، دو حالت $(1,6)$ و $(6,1)$ را به‌اشتباه مطلوب می‌شمارید و به $\frac{22}{36}=\frac{11}{18}$ می‌رسید. عدد $1$ اول نیست.
گزینهٔ ۴: این گزینه از شمردن تمام حالت‌های دارای مجموع حداقل $6$ ، یعنی $\frac{26}{36}=\frac{13}{18}$ ، به دست می‌آید. در این شمارش، شرط اول‌بودن حداقل یکی از تاس‌ها نادیده گرفته شده است.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

«یکی از تاس‌ها اول باشد» یعنی حداقل یکی از آن‌ها عدد اول نشان دهد، نه لزوماً دقیقاً یکی. مفهوم اشتراک دو پیشامد و شمارش زوج‌های مرتب را از ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۵ و ۱۴۶، به یاد بیاورید.
ابتدا حالت‌هایی را بشمارید که مجموع دو تاس حداقل $6$ است؛ برای این کار، حذف حالت‌های دارای مجموع کمتر از $6$ از کل فضای نمونه ساده‌تر است.
از حالت‌های باقی‌مانده، زوج‌هایی را حذف کنید که هر دو مؤلفهٔ آن‌ها از مجموعهٔ $\{1,4,6\}$ باشند. دقت کنید همین زوج‌ها نیز باید شرط مجموع حداقل $6$ را داشته باشند؛ سپس تعداد مطلوب را بر $36$ تقسیم کنید.

فصل «آمار و احتمال» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.