سوال ۱۱ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

نقطهٔ مشخص‌شده روی قاعده را $D$ و پای ارتفاع وارد از $A$ بر $BC$ را $H$ می‌نامیم.

گام اول ـ پیدا کردن فاصله‌های روی قاعده:
چون مثلث در رأس $A$ متساوی‌الساقین است، $AB=AC=4$ و ارتفاع $AH$ قاعده را نصف می‌کند. بنابراین:
$BC=BD+DC=5+1=6$
$BH=HC=\frac{6}{2}=3$
از آنجا که $BD=5$ و $BH=3$، ترتیب نقاط روی قاعده $B,H,D,C$ است و داریم:
$HD=BD-BH=5-3=2$

گام دوم ـ محاسبهٔ ارتفاع:
با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویهٔ $AHC$، مانند روش محاسبهٔ ضلع مجهول در درس نسبت‌های مثلثاتی (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۴–۳۵)، داریم:
$AH^2=AC^2-HC^2=4^2-3^2=7$
پس:
$AH=\sqrt{7}$

گام سوم ـ محاسبهٔ تانژانت و تعیین علامت:
زاویهٔ تند $ADH$ را $\beta$ می‌نامیم. در مثلث قائم‌الزاویهٔ $AHD$، تانژانت برابر نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است:
$\tan\beta=\frac{AH}{HD}=\frac{\sqrt{7}}{2}$
اما زاویهٔ خواسته‌شده بین نیم‌خط‌های $DA$ و $DC$ است. چون نیم‌خط‌های $DH$ و $DC$ خلاف جهت یکدیگرند، داریم:
$\alpha=180^\circ-\beta$
بنابراین $\alpha$ در ناحیهٔ دوم قرار دارد و تانژانت آن منفی است. توجه به ناحیهٔ زاویه برای تعیین علامت نسبت‌های مثلثاتی در کتاب نیز تأکید شده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۳). در نتیجه:
$\tan\alpha=-\tan\beta=-\frac{\sqrt{7}}{2}$

پاسخ: گزینهٔ ۳