سوال ۱۱۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: شرط مسئله را به زبان جبری بنویسیم.
اگر طول ضلع لوزی $a$ و طول قطرهای آن $p$ و $q$ باشد، داریم:
$a=\sqrt{pq}\quad\Rightarrow\quad a^2=pq$.

گام دوم: مساحت لوزی را به دو روش حساب کنیم.
مساحت لوزی برحسب قطرها برابر است با:
$S=\frac{pq}{2}$.
از طرف دیگر، اگر یکی از ضلع‌ها را قاعده بگیریم، ارتفاعِ متناظر با آن برابر $h=a\sin A$ است؛ زیرا در مثلث قائم‌الزاویهٔ حاصل از رسم ارتفاع، سینوس برابر نسبت ضلع مقابل به وتر است. این کاربرد نسبت سینوس در محاسبهٔ ارتفاع، در ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۲–۳۳ آمده است. بنابراین:
$S=ah=a^2\sin A$.
با برابر قرار دادن دو عبارت مساحت و استفاده از شرط مسئله:
$a^2\sin A=\frac{pq}{2}=\frac{a^2}{2}\quad\Rightarrow\quad\sin A=\frac{1}{2}$.

گام سوم: زاویه‌های مجاور را تعیین کنیم.
زاویه‌های داخلی لوزی بین $0^\circ$ و $180^\circ$ هستند. با توجه به $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$ و برابری سینوس دو زاویهٔ مکمل، زاویه‌های لوزی $30^\circ$ و $150^\circ$ هستند (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۲–۳۳، نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های خاص).
همچنین دو زاویهٔ مجاور لوزی مکمل‌اند:
$A+B=180^\circ$.
پس نصف تفاضل آن‌ها، بسته به ترتیب نام‌گذاری، برابر $60^\circ$ یا $-60^\circ$ می‌شود. چون مقدار مثبت تانژانت خواسته شده است، حالت $A=150^\circ$ و $B=30^\circ$ را در نظر می‌گیریم:
$\frac{A-B}{2}=\frac{150^\circ-30^\circ}{2}=60^\circ$.

گام چهارم: تانژانت را به دست آوریم.
طبق جدول نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های خاص (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۲–۳۳):
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)=\tan 60^\circ=\sqrt{3}$.

پاسخ: گزینهٔ ۱