سوال ۱۲۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: شیب لازم را مشخص می‌کنیم.
طبق رابطهٔ شیب خط و زاویهٔ آن با جهت مثبت محور افقی، شیب برابر تانژانت آن زاویه است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۰). همچنین $\tan60^\circ=\sqrt{3}$ است (ریاضی ۱، صفحات ۳۲–۳۳). پس شیب خط باید $\sqrt{3}$ باشد.

گام دوم: شیب خط داده‌شده را پیدا می‌کنیم.
اگر $m=\pm1$ باشد، ضریب $y$ صفر و خط قائم می‌شود؛ بنابراین این دو مقدار نمی‌توانند مطلوب باشند. برای $m\ne\pm1$ داریم:
$y=-\frac{2m}{m^2-1}x+\frac{3}{m^2-1}$
پس:
$-\frac{2m}{m^2-1}=\sqrt{3}$
با ضرب طرفین در مخرج و مرتب‌کردن جمله‌ها:
$\sqrt{3}m^2+2m-\sqrt{3}=0$
با ضرب در $\sqrt{3}$، معادله به صورت زیر درمی‌آید:
$3m^2+2\sqrt{3}m-3=0$

گام سوم: دو مقدار پارامتر را به دست می‌آوریم.
$\Delta=(2\sqrt{3})^2-4(3)(-3)=12+36=48$
بنابراین:
$m=\frac{-2\sqrt{3}\pm4\sqrt{3}}{6}$
دو ریشه عبارت‌اند از:
$m_1=\frac{\sqrt{3}}{3},\qquad m_2=-\sqrt{3}$
هر دو ریشه با شرط $m\ne\pm1$ سازگارند.

گام چهارم: اختلاف مقدار بزرگ‌تر و کوچک‌تر را حساب می‌کنیم:
$m_1-m_2=\frac{\sqrt{3}}{3}-(-\sqrt{3})=\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{4}{\sqrt{3}}$

پاسخ: گزینهٔ ۴