دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۱ · ریاضی

سوال ۱۱۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۳ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۱، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۳ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۱ · سوال ۱۱۳ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

اگر 2sin⁡2x+cos⁡2x=432\sin^2 x+\cos^2 x=\frac{4}{3} باشد، حاصل tan⁡2x\tan^2 x کدام است؟ (x≠0)(x\neq 0)

  1. گزینهٔ ۱: 32\frac{3}{2}
  2. گزینهٔ ۲: 23\frac{2}{3}
  3. گزینهٔ ۳: 12\frac{1}{2}
  4. گزینهٔ ۴: 14\frac{1}{4}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: از اتحاد اصلی مثلثات استفاده می‌کنیم:
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1
این رابطه برای هر زاویه برقرار است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۳). بنابراین معادلهٔ داده‌شده را چنین بازنویسی می‌کنیم:
2sin⁡2x+cos⁡2x=sin⁡2x+(sin⁡2x+cos⁡2x)=sin⁡2x+12\sin^2 x+\cos^2 x=\sin^2 x+(\sin^2 x+\cos^2 x)=\sin^2 x+1
پس:
sin⁡2x+1=43⇒sin⁡2x=43−1=13\sin^2 x+1=\frac{4}{3}\Rightarrow\sin^2 x=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}

گام دوم: با استفادهٔ دوباره از همان اتحاد، مربع کسینوس را به دست می‌آوریم:
cos⁡2x=1−sin⁡2x=1−13=23\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
چون cos⁡2x≠0\cos^2 x\neq0 است، تانژانت تعریف شده است.

گام سوم: طبق رابطهٔ تانژانت با سینوس و کسینوس (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۱–۳۲)، داریم:
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x⇒tan⁡2x=sin⁡2xcos⁡2x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\Rightarrow\tan^2 x=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}
در نتیجه:
tan⁡2x=1323=13×32=12\tan^2 x=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\times\frac{3}{2}=\frac{1}{2}
برای این محاسبه نیازی به تعیین ناحیهٔ زاویه یا علامت سینوس و کسینوس نیست، زیرا با مربع نسبت‌ها سروکار داریم.

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است پس از یافتن کسینوسِ به‌توان دو، مقدار 1cos⁡2x=32\frac{1}{\cos^2 x}=\frac{3}{2} را پاسخ بگیرید؛ اما طبق اتحاد 1+tan⁡2x=1cos⁡2x1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}، باید از این مقدار یک واحد کم کنید.
  • گزینهٔ ۲: این گزینه از متوقف‌کردن حل در مقدار cos⁡2x=23\cos^2 x=\frac{2}{3} به دست می‌آید. خواستهٔ سؤال مربع تانژانت است، نه مربع کسینوس؛ پس باید نسبت sin⁡2xcos⁡2x\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} را حساب کنید.
  • گزینهٔ ۴: ممکن است پس از محاسبهٔ نسبت sin⁡2xcos⁡2x\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}، آن را دوباره به توان دو برسانید. این نسبت خودش برابر tan⁡2x\tan^2 x است و توان‌دوم‌گرفتنِ دوباره، مقدار tan⁡4x\tan^4 x را می‌دهد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. اتحاد اصلیِ رابطهٔ سینوس و کسینوس را از درس سوم فصل مثلثات به یاد بیاورید: sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1.
  2. طرف چپ معادله را به صورت sin⁡2x+(sin⁡2x+cos⁡2x)\sin^2 x+(\sin^2 x+\cos^2 x) بنویسید و عبارت داخل پرانتز را با اتحاد اصلی جایگزین کنید.
  3. پس از یافتن sin⁡2x\sin^2 x، مقدار cos⁡2x\cos^2 x را از تفاضل آن با یک به دست آورید؛ سپس برای محاسبهٔ مربع تانژانت، مقدار اول را بر مقدار دوم تقسیم کنید.

ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مثلثات» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۱

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری