سوال ۱۲۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: طول ضلع‌های کامل را پیدا می‌کنیم. با توجه به ترتیب نقاط روی دو ضلع داریم:
$AD=AB+BD=5+2=7$
$AC=AE+EC=4+3=7$

گام دوم: مساحت‌ها را برحسب سینوس زاویهٔ مشترک می‌نویسیم. اگر دو ضلع مثلث $a$ و $b$ و زاویهٔ بین آن‌ها $A$ باشد، ارتفاع وارد بر ضلع $a$ برابر $b\sin A$ است؛ بنابراین:
$S=\frac{1}{2}ab\sin A$
این روش از تعریف سینوس و رابطهٔ قاعده و ارتفاع به دست می‌آید (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۱ و صفحات ۳۲–۳۳).

پس برای دو مثلث موردنظر:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times AC\times\sin A=\frac{35}{2}\sin A$
$S_{ADE}=\frac{1}{2}\times AD\times AE\times\sin A=14\sin A$

گام سوم: اختلاف مساحت‌ها را برابر مقدار داده‌شده قرار می‌دهیم. چون ضریب سینوس در مساحت مثلث $ABC$ بزرگ‌تر است، داریم:
$S_{ABC}-S_{ADE}=\left(\frac{35}{2}-14\right)\sin A=\frac{7}{2}\sin A$
از طرفی، اختلاف مساحت‌ها برابر $1.75=\frac{7}{4}$ است؛ پس:
$\frac{7}{2}\sin A=\frac{7}{4}\quad\Rightarrow\quad\sin A=\frac{1}{2}$

گام چهارم: با توجه به حاده بودن زاویهٔ $A$ در شکل، از $\sin A=\frac{1}{2}$ نتیجه می‌گیریم $A=30^\circ$. مطابق جدول نسبت‌های مثلثاتی (ریاضی ۱، صفحات ۳۲–۳۳):
$\tan A=\tan30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

پاسخ: گزینهٔ ۲