دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم · ریاضی

سوال ۱۱ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱ دفترچهٔ اختصاصی کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱ · ریاضی

کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم · سوال ۱۱ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

مثلث ABC، با اضلاع 3\sqrt{3} و ۶ و α\alpha (زاویه بین آنها) قابل رسم است. اگر مساحت این مثلث ۴/۵ باشد، بیشترین مقدار α\alpha چند برابر کمترین مقدار α\alpha است؟

  1. گزینهٔ ۱: ۲
  2. گزینهٔ ۲: ۳
  3. گزینهٔ ۳: ۴
  4. گزینهٔ ۴: ۵
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: رابطهٔ مساحت را بنویسیم.
در صورت سؤال، دو ضلع برابر 3\sqrt{3} و 66 و زاویهٔ بین آن‌ها برابر α\alpha است. همچنین منظور از مساحت داده‌شده، عدد اعشاری 4.54.5 است.
با بیان ارتفاع به کمک سینوس و جای‌گذاری در رابطهٔ مساحت، برای دو ضلع aa و bb و زاویهٔ بین آن‌ها داریم: S=12absin⁡αS=\frac{1}{2}ab\sin\alpha؛ این روش در فعالیت مساحت مثلث مطرح شده است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۲ و ۳۳).
پس 4.5=12×3×6×sin⁡α=33sin⁡α4.5=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\times6\times\sin\alpha=3\sqrt{3}\sin\alpha و در نتیجه sin⁡α=4.533=32\sin\alpha=\frac{4.5}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

گام دوم: همهٔ زاویه‌های مجاز را پیدا کنیم.
از جدول نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های خاص می‌دانیم sin⁡60∘=32\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2} (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۲ و ۳۳). از طرفی سینوس دو زاویهٔ مکمل برابر است: sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta.
چون α\alpha زاویهٔ داخلی مثلث است، باید 0∘<α<180∘0^\circ<\alpha<180^\circ باشد؛ بنابراین دو مقدار ممکن آن عبارت‌اند از α=60∘\alpha=60^\circ و α=120∘\alpha=120^\circ.

گام سوم: نسبت خواسته‌شده را حساب کنیم.
کمترین مقدار زاویه برابر 60∘60^\circ و بیشترین مقدار آن برابر 120∘120^\circ است؛ پس αmax⁡αmin⁡=120∘60∘=2\frac{\alpha_{\max}}{\alpha_{\min}}=\frac{120^\circ}{60^\circ}=2.
پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۲: ممکن است به‌جای زاویهٔ بزرگ‌تر، مجموع دو زاویهٔ ممکن را بر زاویهٔ کوچک‌تر تقسیم کنید و به 180∘60∘=3\frac{180^\circ}{60^\circ}=3 برسید؛ اما سؤال نسبتِ بیشترین زاویه به کمترین زاویه را می‌خواهد، نه نسبت مجموع آن‌ها به کمترین زاویه.
  • گزینهٔ ۳: ممکن است زاویهٔ 240∘240^\circ را نیز مجاز بدانید و نسبت 240∘60∘=4\frac{240^\circ}{60^\circ}=4 را حساب کنید. این زاویه نه می‌تواند زاویهٔ داخلی مثلث باشد و نه سینوس آن با مقدار مثبتِ به‌دست‌آمده برابر است.
  • گزینهٔ ۴: اگر به‌جای زاویهٔ مکمل، زاویهٔ 360∘−60∘=300∘360^\circ-60^\circ=300^\circ را انتخاب کنید، نسبت برابر 55 می‌شود. اما این زاویه خارج از بازهٔ زاویه‌های داخلی مثلث است و سینوس آن نیز منفی است.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. فعالیت مساحت مثلث در ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۲ و ۳۳ را به یاد آورید: ارتفاع را می‌توان با استفاده از سینوسِ زاویهٔ بین دو ضلع بیان کرد.
  2. از رابطهٔ S=12absin⁡αS=\frac{1}{2}ab\sin\alpha استفاده کنید. توجه کنید که مساحت داده‌شده، عدد اعشاری 4.54.5 است و زاویهٔ داخلی مثلث باید در بازهٔ 0∘<α<180∘0^\circ<\alpha<180^\circ باشد.
  3. پس از محاسبهٔ سینوس، با جدول زاویه‌های خاص زاویهٔ تندِ متناظر را پیدا کنید؛ مکمل آن نیز همان سینوس را دارد. در پایان، زاویهٔ بزرگ‌تر را بر زاویهٔ کوچک‌تر تقسیم کنید.

ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مثلثات» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری