سوالات ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

برای استفاده از تعریف کتانژانت، ابتدا مثلث قائم‌الزاویه‌ای می‌سازیم که زاویهٔ $\alpha$ در آن باشد.

گام اول: نام‌گذاری و رسم خط کمکی
رأس بالا-چپ را $A$، پایین-چپ را $B$، وسط ضلع پایین را $M$ و پایین-راست را $C$ می‌نامیم. بنابراین:
$AB=2,\qquad BM=MC=2,\qquad BC=4$
از $M$ بر قطر $AC$ عمود می‌کنیم و پای عمود را $H$ می‌نامیم. در مثلث قائم‌الزاویهٔ $AHM$، زاویهٔ رأس $A$ همان $\alpha$ است. طبق تعریف کتانژانت، نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل را باید حساب کنیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۰):
$\cot\alpha=\frac{AH}{MH}$

گام دوم: محاسبهٔ قطر و استفاده از تشابه
در مثلث قائم‌الزاویهٔ $ABC$، با قضیهٔ فیثاغورس داریم:
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5$
مثلث‌های $CHM$ و $CBA$ هر دو قائم‌الزاویه‌اند و زاویهٔ رأس $C$ آن‌ها مشترک است؛ پس متشابه‌اند. در نتیجه:
$\frac{CH}{CB}=\frac{MH}{BA}=\frac{CM}{CA}=\frac{2}{2\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5}$
بنابراین:
$CH=\frac{4}{\sqrt5},\qquad MH=\frac{2}{\sqrt5}$

گام سوم: محاسبهٔ ضلع مجاور و کتانژانت
چون $H$ روی پاره‌خط $AC$ قرار دارد:
$AH=AC-CH=2\sqrt5-\frac{4}{\sqrt5}=\frac{6}{\sqrt5}$
پس:
$\cot\alpha=\frac{AH}{MH}=\frac{\frac{6}{\sqrt5}}{\frac{2}{\sqrt5}}=3$

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: رابطهٔ مساحت را بنویسیم.
در صورت سؤال، دو ضلع برابر $\sqrt{3}$ و $6$ و زاویهٔ بین آن‌ها برابر $\alpha$ است. همچنین منظور از مساحت داده‌شده، عدد اعشاری $4.5$ است.
با بیان ارتفاع به کمک سینوس و جای‌گذاری در رابطهٔ مساحت، برای دو ضلع $a$ و $b$ و زاویهٔ بین آن‌ها داریم: $S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$؛ این روش در فعالیت مساحت مثلث مطرح شده است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۲ و ۳۳).
پس $4.5=\frac{1}{2}\times\sqrt{3}\times6\times\sin\alpha=3\sqrt{3}\sin\alpha$ و در نتیجه $\sin\alpha=\frac{4.5}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

گام دوم: همهٔ زاویه‌های مجاز را پیدا کنیم.
از جدول نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های خاص می‌دانیم $\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۲ و ۳۳). از طرفی سینوس دو زاویهٔ مکمل برابر است: $\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$.
چون $\alpha$ زاویهٔ داخلی مثلث است، باید $0^\circ<\alpha<180^\circ$ باشد؛ بنابراین دو مقدار ممکن آن عبارت‌اند از $\alpha=60^\circ$ و $\alpha=120^\circ$.

گام سوم: نسبت خواسته‌شده را حساب کنیم.
کمترین مقدار زاویه برابر $60^\circ$ و بیشترین مقدار آن برابر $120^\circ$ است؛ پس $\frac{\alpha_{\max}}{\alpha_{\min}}=\frac{120^\circ}{60^\circ}=2$.
پاسخ: گزینهٔ ۱

نکتهٔ مهم: صورت سؤال بدون شکل یا تعیین محل رأس زاویه‌های محاطی، ابهام دارد؛ زیرا دو سر یک وتر، دو کمان می‌سازند و زاویهٔ محاطی می‌تواند مقابل هرکدام از آن‌ها باشد. پاسخِ کلید با این برداشت به دست می‌آید که برای هر ضلع، کمان مقابل زاویه، مکملِ کمان بین دو رأس متوالی پنج‌ضلعی باشد.

گام اول: رأس‌های پنج‌ضلعی را به‌ترتیب روی دایره $A,B,C,D,E$ بنامیم و اندازهٔ کمان‌های متوالی $AB,BC,CD,DE,EA$ را به‌ترتیب $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ بگیریم. این کمان‌ها یک دور کامل را می‌پوشانند؛ بنابراین $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=360^\circ$ (ریاضی هشتم، صفحهٔ ۱۴۲).

گام دوم: اندازهٔ هر زاویهٔ محاطی برابر نصف اندازهٔ کمان مقابل آن است (ریاضی هشتم، صفحه‌های ۱۴۶–۱۴۷). در برداشت موردنظر کلید، کمان مقابل زاویهٔ مربوط به ضلع نخست برابر $360^\circ-a_1$ است؛ پس اندازهٔ آن زاویه $\alpha_1=\frac{360^\circ-a_1}{2}$ خواهد بود. همین رابطه برای چهار ضلع دیگر نیز برقرار است.

گام سوم: با جمع‌کردن پنج زاویه داریم: $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+\alpha_5=\frac{5\times360^\circ-(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)}{2}=\frac{1800^\circ-360^\circ}{2}=720^\circ$.

توجه: اگر زاویه‌ها را مقابل خودِ کمان‌های متوالی انتخاب کنیم، مجموع برابر $\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$ می‌شود. پس برای یکتا بودن پاسخ، صورت سؤال باید محل رأس زاویه‌ها یا کمان‌های مقابل آن‌ها را مشخص کند؛ نتیجهٔ بالا مطابق برداشت کلید اعلام‌شده است.

پاسخ: گزینهٔ ۳