سوالات ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

۱. شرط عضویت در اشتراک را می‌نویسیم. طبق تعریف بازه‌ها و اشتراک آن‌ها، هر عضو مشترک باید هر دو شرط را هم‌زمان داشته باشد (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳–۵):
$x\in A\cap B\iff \frac{4}{m+1}\leq x\leq\frac{5}{m+2}.$

۲. متناهی بودن را بررسی می‌کنیم. مجموعهٔ تهی و مجموعهٔ تک‌عضوی متناهی‌اند، ولی هر بازه با دو سر متمایز، حتی اگر محدود باشد، نامتناهی است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۵–۶). بنابراین:

• اگر $\frac{4}{m+1}<\frac{5}{m+2}$ باشد، اشتراک یک بازه با بی‌نهایت عضو است.
• اگر $\frac{4}{m+1}=\frac{5}{m+2}$ باشد، چون هر دو سر در بازه‌ها قرار دارند، اشتراک تک‌عضوی است.
• اگر $\frac{4}{m+1}>\frac{5}{m+2}$ باشد، اشتراک تهی است.

پس شرط لازم و کافی برای متناهی بودن اشتراک چنین است:
$\frac{4}{m+1}\geq\frac{5}{m+2}$.

۳. نامعادله را حل می‌کنیم. چون $m$ طبیعی است، هر دو مخرج مثبت‌اند و با ضرب در حاصل‌ضرب آن‌ها، جهت نامعادله تغییر نمی‌کند:
$4(m+2)\geq5(m+1)$
$4m+8\geq5m+5$
$m\leq3$.

۴. مقادیر طبیعی مجاز عبارت‌اند از $m\in\{1,2,3\}$. برای $m=1$ و $m=2$ اشتراک تهی است و برای $m=3$ داریم:
$A\cap B=\{1\}$.
بنابراین، تعداد مقادیر طبیعی مطلوب برابر با $3$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: استفاده از شرط حسابی‌بودن
در دنبالهٔ حسابی، اختلاف جمله‌های متوالی ثابت است؛ بنابراین برای سه جملهٔ نخست داریم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۳):
$b-a=c-b\quad\Rightarrow\quad a+c=2b\quad\Rightarrow\quad c=2b-a$.

گام دوم: استفاده از شرط هندسی‌بودن
در دنبالهٔ هندسی، هر جمله از ضرب جملهٔ قبلی در قدرنسبت ثابت و غیرصفر به دست می‌آید؛ پس مربع جملهٔ میانی برابر حاصل‌ضرب دو جملهٔ کناری است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۵–۲۶). برای جمله‌های داده‌شده می‌نویسیم:
$\left(\frac{a}{2}\right)^2=b\times\frac{c}{4}\quad\Rightarrow\quad a^2=bc$.
با جای‌گذاری رابطهٔ گام اول:
$a^2=b(2b-a)\quad\Rightarrow\quad a^2+ab-2b^2=0$.
اکنون تجزیه می‌کنیم:
$(a-b)(a+2b)=0$.
پس یا $a=b$ یا $a=-2b$. حالت نخست با متمایزبودن جمله‌ها ناسازگار است؛ بنابراین:
$a=-2b$.

گام سوم: محاسبهٔ مقدار خواسته‌شده
چون $b$ جملهٔ اول دنبالهٔ هندسی است، طبق تعریف کتاب غیرصفر است. قدرنسبت را از تقسیم جملهٔ دوم بر جملهٔ اول به دست می‌آوریم:
$r=\frac{a/2}{b}=\frac{a}{2b}=\frac{-2b}{2b}=-1$.
سؤال دو برابر قدرنسبت را می‌خواهد؛ پس:
$2r=2(-1)=-2$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

نکتهٔ نگارشی: در این سؤال، «۴/۵» نمایش اعشاریِ $4.5=\frac{9}{2}$ است، نه کسر $\frac{4}{5}$؛ چون با افزایش قاعده و ارتفاع، مساحت افزایش می‌یابد.

۱. مدل‌سازی طول‌ها
مانند روش حل مسئلهٔ هندسی در کتاب، ابتدا طول‌ها را برحسب یک مجهول می‌نویسیم و سپس از شرط مساحت، معادله تشکیل می‌دهیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۶).

قاعدهٔ اولیه را $x$ می‌گیریم؛ چون طول است، باید $x>0$ باشد. ارتفاع اولیه برابر است با:
$h=3x+2$
پس مساحت اولیه برابر است با:
$S=\frac{x(3x+2)}{2}$

۲. تشکیل معادلهٔ مساحت‌ها
با اضافه‌شدن $4$ واحد به هر دو طول، قاعدهٔ جدید $x+4$ و ارتفاع جدید $3x+6$ می‌شود. بنابراین:
$S_{\text{جدید}}=\frac{(x+4)(3x+6)}{2}$
طبق شرط سؤال:
$\frac{(x+4)(3x+6)}{2}=\frac{9}{2}\times\frac{x(3x+2)}{2}$
با حذف عامل مشترک $\frac{1}{2}$ و ضرب دو طرف در $2$ داریم:
$2(x+4)(3x+6)=9x(3x+2)$
پرانتزها را باز می‌کنیم:
$6x^2+36x+48=27x^2+18x$
پس:
$21x^2-18x-48=0$
با تقسیم بر $3$:
$7x^2-6x-16=0$

۳. حل معادله و بررسی ریشه‌ها
از روش تجزیهٔ معادلهٔ درجهٔ دوم استفاده می‌کنیم که در تمرین‌های کتاب نیز آمده است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۷۶–۷۷):
$(7x+8)(x-2)=0$
بنابراین:
$x=2\quad\text{یا}\quad x=-\frac{8}{7}$
ریشهٔ منفی نمی‌تواند طول قاعده باشد؛ پس قاعده $2$ واحد و ارتفاع برابر است با:
$h=3(2)+2=8$

۴. محاسبهٔ مساحت اولیه
$S=\frac{1}{2}\times2\times8=8$
پس مساحت اولیه $8$ واحد مربع است.

برای کنترل، مساحت جدید برابر $\frac{1}{2}\times6\times12=36$ است و نسبت $\frac{36}{8}=4.5$ شرط سؤال را تأیید می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. تابع همانی هر ورودی را به خودش نسبت می‌دهد؛ بنابراین $f(x)=x$ و در نتیجه $f(3+x)=3+x$ و $f(-1)=-1$ است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۱۰–۱۱۱).

۲. خروجی تابع ثابت با تغییر ورودی عوض نمی‌شود. پس اگر مقدار ثابتِ $g$ را $k$ بنامیم، داریم $g(3x)=k$ و $g(4)=k$ (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۱۱).

۳. این عبارت‌ها را در رابطهٔ سؤال جای‌گذاری می‌کنیم:
$k+2(3+x)=3+2x$
با بازکردن پرانتز داریم:
$k+6+2x=3+2x$
با کم‌کردن $2x$ از دو طرف:
$k+6=3\Rightarrow k=-3$
پس $g(4)=-3$ است؛ دقت کنید که ورودیِ تابع ثابت، مقدار خروجی آن را تعیین نمی‌کند.

۴. اکنون کسر خواسته‌شده برابر است با:
$\frac{f(-1)}{g(4)}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

صورت سؤالِ نوشته‌شده با کلید اعلام‌شده سازگار نیست. اگر منظور از «جذر معکوس ریشه‌ها» عبارت $\sqrt{\frac{1}{\alpha}}+\sqrt{\frac{1}{\beta}}$ باشد، شرط مسئله در اعداد حقیقی امکان‌پذیر نیست.

گام اول: بررسی علامت ریشه‌های معادلهٔ اول
طبق رابطهٔ مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها، برای معادلهٔ $ax^2+bx+c=0$ داریم $\alpha\beta=\frac{c}{a}$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲–۱۳). بنابراین در معادلهٔ داده‌شده:
$\alpha\beta=\frac{1}{-36}=-\frac{1}{36}$.
همچنین $\Delta=(m+14)^2+144>0$؛ پس برای هر مقدار حقیقی پارامتر، دو ریشهٔ حقیقی متمایز داریم. چون حاصل‌ضرب آن‌ها منفی است، یکی مثبت و دیگری منفی است؛ این روش تشخیص علامت ریشه‌ها در کتاب نیز آمده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۶–۱۷).

گام دوم: بررسی شرط جذرها
معکوس ریشهٔ منفی نیز منفی است؛ در نتیجه یکی از دو عبارت $\sqrt{\frac{1}{\alpha}}$ و $\sqrt{\frac{1}{\beta}}$ در اعداد حقیقی تعریف نمی‌شود. بنابراین مجموع نوشته‌شده نمی‌تواند برابر $5$ باشد و از این شرط نمی‌توان مقدار معتبری برای $m$ به دست آورد.

گام سوم: بررسی کلید اعلام‌شده
حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلهٔ دوم، به شرط $m\ne0$، برابر $\frac{2}{m}$ است. پاسخ اعلام‌شدهٔ $-2$ مستلزم $\frac{2}{m}=-2\Rightarrow m=-1$ است؛ اما این مقدار نیز مشکل تعریف جذرها را برطرف نمی‌کند. پس برای ارائهٔ حل معتبر، لازم است عبارت «مجموع جذر معکوس ریشه‌ها» با تصویر اصلی سؤال تطبیق داده شود.

نتیجهٔ زیر صرفاً نقل کلید اعلام‌شده است و از صورت فعلی سؤال به دست نمی‌آید.
پاسخ: گزینهٔ ۱

طبق تعریف کتاب، همسایگی محذوفِ یک نقطه از حذف همان نقطه از یک بازهٔ بازِ شامل آن به دست می‌آید؛ پس خودِ نقطه عضو مجموعه نیست، ولی نقطه‌های نزدیک به آن در هر دو سمت عضو مجموعه‌اند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۳).

گام اول: تعیین مرز دو بازه
در مجموعهٔ $(4b-a,5)\cup(2,a+b)$، عدد $4$ نباید در هیچ‌یک از دو بازه باشد. از طرفی، نقطه‌های نزدیک به $4$ از سمت راست باید در بازهٔ اول قرار بگیرند؛ بنابراین ابتدای این بازه دقیقاً برابر $4$ است:
$4b-a=4$.
همچنین نقطه‌های نزدیک به $4$ از سمت چپ باید در بازهٔ دوم باشند؛ پس انتهای این بازه دقیقاً برابر $4$ است:
$a+b=4$.
اگر این مرزها از $4$ فاصله داشتند، یا خودِ $4$ وارد مجموعه می‌شد یا بخشی از نقطه‌های نزدیک آن در مجموعه نبود.

گام دوم: حل دستگاه
با جمع‌کردن دو معادله داریم:
$(4b-a)+(a+b)=4+4\Rightarrow 5b=8\Rightarrow b=\frac{8}{5}$.
از معادلهٔ دوم نیز به دست می‌آید:
$a=4-b=4-\frac{8}{5}=\frac{12}{5}$.

گام سوم: محاسبهٔ عبارت خواسته‌شده
$b-a=\frac{8}{5}-\frac{12}{5}=-\frac{4}{5}$.
برای بررسی، با این مقادیر مجموعهٔ داده‌شده برابر $(4,5)\cup(2,4)=(2,5)\setminus\{4\}$ می‌شود که دقیقاً یک همسایگی محذوفِ $4$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. نمایش طول ضلع‌ها با یک متغیر
چون نسبت دو ضلع مجاور $2:3$ است، طول آن‌ها را $a=2x$ و $b=3x$ می‌گیریم که در آن $x>0$ است.

۲. محاسبهٔ ارتفاع با سینوس
زاویه‌های مجاور در متوازی‌الاضلاع مکمل‌اند؛ پس زاویهٔ کوچک‌تر برابر است با:
$180^\circ-150^\circ=30^\circ$.
اگر ضلع $a$ را قاعده بگیریم، با رسم ارتفاع و استفاده از نسبت سینوس در مثلث قائم‌الزاویه داریم $h=b\sin30^\circ$. مطابق مقدار سینوس زاویهٔ ویژه در کتاب، $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$؛ بنابراین $h=\frac{3x}{2}$ (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۲–۳۳).

۳. استفاده از مساحت داده‌شده
مساحت متوازی‌الاضلاع برابر قاعده ضرب‌در ارتفاع است؛ بنابراین:
$54=(2x)\left(\frac{3x}{2}\right)=3x^2$.
پس:
$x^2=18\quad\Rightarrow\quad x=3\sqrt{2}$.
ریشهٔ مثبت را انتخاب می‌کنیم، زیرا طول ضلع‌ها مثبت است.

۴. محاسبهٔ محیط
ضلع‌های مقابل متوازی‌الاضلاع برابرند؛ پس:
$P=2(a+b)=2(2x+3x)=10x=30\sqrt{2}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا با رابطهٔ زاویه‌های متمم، معادله را به برابری دو سینوس تبدیل می‌کنیم:
$\sin 2x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)$.

طبق روش حل معادلات سینوسی، اگر $\sin A=\sin B$ باشد، آنگاه $A=B+2k\pi$ یا $A=\pi-B+2k\pi$ است که $k\in\mathbb Z$؛ بنابراین باید هر دو دستهٔ جواب را بررسی کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۴–۴۵).

دستهٔ اول:
$2x=\frac{\pi}{2}-3x+2k\pi$

پس:
$5x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}$.

اکنون شرط بازه را اعمال می‌کنیم:
$0\le\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}\le\pi\quad\Rightarrow\quad-\frac14\le k\le\frac94$.

بنابراین مقادیر صحیح مجاز $k=0,1,2$ هستند و جواب‌های این دسته عبارت‌اند از:
$\frac{\pi}{10},\quad\frac{\pi}{2},\quad\frac{9\pi}{10}$.

دستهٔ دوم:
$2x=\pi-\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)+2k\pi$

پس:
$x=-\frac{\pi}{2}-2k\pi$.

شرط بازه برای این دسته می‌دهد:
$0\le-\frac{\pi}{2}-2k\pi\le\pi\quad\Rightarrow\quad-\frac34\le k\le-\frac14$.

در این محدوده هیچ عدد صحیحی وجود ندارد؛ پس دستهٔ دوم جوابی در بازهٔ موردنظر ندارد.

در نتیجه، معادله در بازهٔ $[0,\pi]$ دارای $3$ جواب متمایز است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

در صورت سؤال، علامت «/» در داده‌ها نشانهٔ ممیز است؛ بنابراین مقادیر تقریبی داده‌شده $2.8$ و $0.5$ هستند.

گام اول: تغییر مبنا
طبق رابطهٔ تغییر مبنا، داریم (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۱۳–۱۱۴):
$\log_b a=\frac{\log_c a}{\log_c b}$
پس با انتخاب مبنای $2$:
$\log_{14}10=\frac{\log_2 10}{\log_2 14}$

گام دوم: محاسبهٔ صورت کسر
از رابطهٔ معکوس‌بودن لگاریتم‌ها در دو مبنای جابه‌جا‌شده استفاده می‌کنیم (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۱۳–۱۱۴):
$\log_2 5=\frac{1}{\log_5 2}\simeq\frac{1}{0.5}=2$
اکنون طبق ویژگی لگاریتم حاصل‌ضرب و با توجه به $\log_2 2=1$ داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۱۱):
$\log_2 10=\log_2(2\times5)=\log_2 2+\log_2 5\simeq1+2=3$

گام سوم: محاسبهٔ مخرج کسر
به همین روش:
$\log_2 14=\log_2(2\times7)=\log_2 2+\log_2 7\simeq1+2.8=3.8$

گام چهارم: جای‌گذاری و ساده‌سازی
با تقریب‌های داده‌شده:
$\log_{14}10\simeq\frac{3}{3.8}=\frac{30}{38}=\frac{15}{19}$

پاسخ: گزینهٔ ۱

نماد $[t]$ نشان‌دهندهٔ جزءصحیح است؛ یعنی بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا مساوی $t$. برای بررسی حد تابع جزءصحیح در نقاط پرش، باید رفتار آن را از چپ و راست جداگانه بررسی کنیم؛ نمونهٔ این رفتار در کتاب آمده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۹–۱۴۰).

۱. محاسبهٔ حد چپ
برای نزدیک‌شدن از چپ، می‌گذاریم $x=-2-h$ که $0<h<1$ است. در این صورت:
$\frac{2-x}{2}=2+\frac{h}{2}\quad\Longrightarrow\quad \left[\frac{2-x}{2}\right]=2$
و
$\frac{x+2}{3}=-\frac{h}{3}\quad\Longrightarrow\quad \left[\frac{x+2}{3}\right]=-1$.
بنابراین:
$\lim_{x\to-2^-}f(x)=2\times2+a(-1)=4-a$.

۲. محاسبهٔ حد راست
برای نزدیک‌شدن از راست، می‌گذاریم $x=-2+h$ که $0<h<1$ است. اکنون:
$\frac{2-x}{2}=2-\frac{h}{2}\quad\Longrightarrow\quad \left[\frac{2-x}{2}\right]=1$
و
$\frac{x+2}{3}=\frac{h}{3}\quad\Longrightarrow\quad \left[\frac{x+2}{3}\right]=0$.
پس:
$\lim_{x\to-2^+}f(x)=2\times1+a\times0=2$.

۳. استفاده از شرط وجود حد
برای وجود حد دوطرفه، حدهای چپ و راست باید برابر باشند؛ این معیار در تمرین‌های بررسی وجود حد نیز به کار می‌رود (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲۷–۱۲۸). بنابراین:
$4-a=2\quad\Longrightarrow\quad a=2$.
در نتیجه، چون $0\le\frac{2}{3}<1$، داریم:
$\left[\frac{a}{3}\right]=\left[\frac{2}{3}\right]=0$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

برای آنکه حد دوطرفه برابر $-\infty$ باشد، هر دو حد یک‌طرفه باید برابر $-\infty$ باشند. بنابراین، مانند بررسی حدهای یک‌طرفه و عبارت‌های شامل جزءصحیح در تمرین‌های کتاب، علامت صورت و مخرج را در دو طرف نقطه بررسی می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۷).

گام اول: بررسی از سمت چپ
برای $-2<x<-1$ داریم $[x]=-2$؛ پس:
$\frac{1-k[x]}{x^2-1}=\frac{1+2k}{(x-1)(x+1)}$.
در این بازه، هر دو عامل مخرج منفی‌اند؛ بنابراین هنگام $x\to-1^-$، مخرج به صفر از سمت مثبت میل می‌کند. برای آنکه کسر به $-\infty$ میل کند، باید:
$1+2k<0\quad\Longrightarrow\quad k<-\frac12$.
اگر صورت صفر باشد، کسر در این سمت صفر است و حد خواسته‌شده حاصل نمی‌شود؛ پس نامساوی حتماً اکید است.

گام دوم: بررسی از سمت راست
برای $-1<x<0$ داریم $[x]=-1$؛ در نتیجه:
$\frac{1-k[x]}{x^2-1}=\frac{1+k}{(x-1)(x+1)}$.
در این بازه، عامل اول منفی و عامل دوم مثبت است؛ پس هنگام $x\to-1^+$، مخرج به صفر از سمت منفی میل می‌کند. برای آنکه کسر به $-\infty$ میل کند، باید صورت مثبت باشد:
$1+k>0\quad\Longrightarrow\quad k>-1$.
در این سمت نیز صفرشدن صورت، حد صفر می‌دهد و پذیرفتنی نیست.

گام سوم: تعیین ناحیهٔ نقطه
با اشتراک دو شرط به دست می‌آید:
$-1<k<-\frac12$.
چون $\pi>0$، داریم:
$-\pi<k\pi<-\frac{\pi}{2}$.
پس طول نقطه، یعنی $k\pi$، منفی است. همچنین طبق دایرهٔ مثلثاتی، کسینوس زاویه‌های این بازه منفی است؛ بنابراین:
$k\pi<0,\qquad \cos(k\pi)<0$.
در نتیجه هر دو مختصهٔ نقطه منفی‌اند و نقطه در ناحیهٔ سوم قرار دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: شرط پیوستگی را در نقطهٔ اتصال بنویسیم.

طبق تعریف پیوستگی، حد تابع در هر نقطه باید با مقدار تابع در همان نقطه برابر باشد (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۹–۱۴۰). بنابراین در $x=a$ داریم:
$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^2+mx+n}{a-x}=f(a)=2$.
چون مخرج به صفر میل می‌کند و حد کسر متناهی است، صورت نیز باید در این نقطه صفر شود؛ پس:
$a^2+ma+n=0$.
بنابراین $a$ یکی از ریشه‌های چندجمله‌ای صورت است.

گام دوم: از شرط صفرشدن تابع استفاده کنیم.

اگر $a=0$ باشد، آنگاه $2a=a$ و در نتیجه $f(2a)=f(a)=2$ می‌شود که با شرط $f(2a)=0$ ناسازگار است. پس $a\ne0$ و در نتیجه $2a\ne a$.

اکنون می‌توان برای محاسبهٔ $f(2a)$ از ضابطهٔ کسری استفاده کرد. چون مخرج در این نقطه ناصفر است، صورت باید صفر باشد:
$4a^2+2am+n=0$.
پس $2a$ نیز ریشهٔ صورت است. ضریب جملهٔ درجهٔ دوم برابر یک است؛ بنابراین:
$x^2+mx+n=(x-a)(x-2a)=x^2-3ax+2a^2$.
با مقایسهٔ ضرایب به دست می‌آید:
$m=-3a,\qquad n=2a^2$.

گام سوم: حد را محاسبه کنیم.

برای $x\ne a$ داریم:
$\displaystyle f(x)=\frac{(x-a)(x-2a)}{-(x-a)}=2a-x$.
این روشِ حذف عامل مشترک و سپس بررسی مقدار تابع در نقطهٔ حذف‌شده، مشابه تمرین تابع کسریِ بخش پیوستگی است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۲).

اکنون شرط پیوستگی می‌دهد:
$\displaystyle \lim_{x\to a}(2a-x)=a=2$.
پس:
$m=-3(2)=-6,\qquad n=2(2)^2=8$.
در نتیجه:
$n-m=8-(-6)=14$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: ارتباط مشتق و شیب مماس
طبق تعریف هندسی مشتق، مقدار مشتق تابع در نقطهٔ تماس برابر شیب خط مماس در آن نقطه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۷۱–۷۲). معادلهٔ خط را به صورت شیب–عرض از مبدأ می‌نویسیم:
$y+ax=2\Rightarrow y=-ax+2$
پس شیب خط برابر $-a$ است و داریم:
$f'(4)=-a$

گام دوم: استفاده از قرارداشتن نقطهٔ تماس روی خط
نقطهٔ تماس $(4,f(4))$ هم روی نمودار تابع و هم روی خط مماس قرار دارد؛ بنابراین با جای‌گذاری مختصات آن در معادلهٔ خط:
$f(4)+4a=2\Rightarrow f(4)=2-4a$

گام سوم: استفاده از شرط سؤال
دو رابطهٔ به‌دست‌آمده را در شرط $f(4)+f'(4)=-1$ قرار می‌دهیم:
$(2-4a)+(-a)=-1$
$2-5a=-1\Rightarrow -5a=-3\Rightarrow a=\frac{3}{5}$
در نتیجه:
$f'(4)=-a=-\frac{3}{5}=-0.6$
دقت کنید که مقدار خواسته‌شده شیب خط، یعنی $-a$ است، نه خودِ $a$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

با صورت سؤال داده‌شده، پاسخ تأییدشده سازگار نیست و هیچ‌یک از گزینه‌ها مقدار دقیق کمینه را نشان نمی‌دهد.

گام اول ـ تشکیل تابع فاصله:
چون نقاط $A$ و $B$ روی خطی موازی محور $y$ها قرار دارند، طول آن‌ها یکسان است. پس می‌نویسیم:
$A=(x,x^3-2x-3)$ و $B=(x,x^3+x^2+1)$.
طول پاره‌خط عمودی برابر قدرمطلق تفاضل عرض‌هاست؛ بنابراین:
$AB=|(x^3+x^2+1)-(x^3-2x-3)|=|x^2+3x+4|$.

گام دوم ـ تعیین علامت عبارت:
با کامل کردن مربع داریم:
$x^2+3x+4=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4}>0$.
پس تابع فاصله در تمام اعداد حقیقی به صورت زیر است:
$d(x)=x^2+3x+4$.

گام سوم ـ یافتن و بررسی نقطهٔ بحرانی:
طبق مبحث نقاط بحرانی، اگر تابعی در نقطه‌ای مشتق‌پذیر باشد و در آن نقطه اکسترمم نسبی داشته باشد، مشتقش صفر است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۶). بنابراین:
$d'(x)=2x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{2}$.
صرف صفر شدن مشتق برای اثبات کمینه کافی نیست (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۷). در اینجا مشتق برای $x<-\frac{3}{2}$ منفی و برای $x>-\frac{3}{2}$ مثبت است؛ پس تابع ابتدا نزولی و سپس صعودی است و این نقطه، کمینهٔ مطلق فاصله را به دست می‌دهد.

گام چهارم ـ محاسبهٔ مقدار کمینه:
$d(-\frac{3}{2})=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+4=\frac{7}{4}$.
همچنین شکل کامل‌شدهٔ مربع مستقیماً نشان می‌دهد که $d(x)\geq\frac{7}{4}$ و برابری در $x=-\frac{3}{2}$ برقرار است.

بنابراین کمترین طول برابر $\frac{7}{4}$ است، نه $3$؛ لازم است صورت سؤال، گزینه‌ها یا کلید بازبینی شود.
پاسخ: هیچ‌یک از گزینه‌ها.

برای ساختن عدد سه‌رقمی، سه جایگاه صدگان، دهگان و یکان را پر می‌کنیم. مطابق روش کتاب، تعداد انتخاب‌های پیاپی را در هم ضرب می‌کنیم و صفر را در صدگان قرار نمی‌دهیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۳). همچنین تعداد حالت‌های جدا از هم را با اصل جمع به دست می‌آوریم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۲).

گام اول: صدگان کوچک‌تر از $7$ باشد.
صدگان فقط می‌تواند یکی از رقم‌های $1,3,5$ باشد؛ پس سه انتخاب داریم. در این حالت، عدد حتماً از $781$ کوچک‌تر است. چون تکرار رقم مجاز نیست، برای دهگان شش و برای یکان پنج انتخاب باقی می‌ماند:
$3\times6\times5=90$

گام دوم: صدگان برابر $7$ باشد.
برای کوچک‌تر بودن عدد از $781$، دو حالت داریم:

• دهگان کوچک‌تر از $8$ باشد: رقم‌های مجاز دهگان عبارت‌اند از $0,1,3,5$. پس چهار انتخاب برای دهگان داریم و پس از انتخاب آن، پنج رقم برای یکان باقی می‌ماند:

$1\times4\times5=20$

• دهگان برابر $8$ باشد: یکان باید از $1$ کوچک‌تر باشد؛ بنابراین فقط رقم $0$ مجاز است. در نتیجه، تنها عدد این حالت $780$ است و یک حالت داریم. خود عدد $781$ شمرده نمی‌شود، زیرا سؤال عددهای کوچک‌تر از آن را می‌خواهد.

صدگان‌های $8$ و $9$ نیز مجاز نیستند، چون عدد را از $781$ بزرگ‌تر می‌کنند.

گام سوم: جمع حالت‌ها.
این حالت‌ها هم‌پوشانی ندارند؛ بنابراین:
$90+20+1=111$

پاسخ: گزینهٔ ۳

پیشامد مطلوب را $A$ می‌نامیم: یکی از سه عدد انتخاب‌شده، شمارندهٔ هر دو عدد دیگر باشد.

گام اول: شمارش کل حالت‌ها
چون ترتیب خروج کارت‌ها مهم نیست، مانند مثال انتخاب مهره‌ها در کتاب، از ترکیب استفاده می‌کنیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۴):
$n(S)=\binom{8}{3}=56$.

گام دوم: شمارش حالت‌های مطلوب
عددهای روی کارت‌ها مثبت و متمایزند؛ بنابراین عددی که شمارندهٔ دو عدد دیگر است، حتماً کوچک‌ترین عددِ انتخاب‌شده است. بر اساس این عدد، حالت‌ها را دسته‌بندی می‌کنیم:

• کوچک‌ترین عدد، $1$ باشد: چون $1$ شمارندهٔ هر عدد طبیعی است، هر دو کارت دیگری از هفت کارت باقی‌مانده مناسب‌اند. پس تعداد این حالت‌ها برابر است با:

$\binom{7}{2}=21$.

• کوچک‌ترین عدد، $2$ باشد: دو کارت دیگر باید از مضرب‌های بزرگ‌تر از $2$، یعنی مجموعهٔ $\{4,6,8\}$، انتخاب شوند. بنابراین:

$\binom{3}{2}=3$.
این انتخاب‌ها عبارت‌اند از $\{2,4,6\}$، $\{2,4,8\}$ و $\{2,6,8\}$.

• کوچک‌ترین عدد، دست‌کم $3$ باشد: عدد $3$ فقط یک مضرب بزرگ‌تر از خودش در میان کارت‌ها دارد: $6$. هر عدد از $4$ تا $8$ نیز حداکثر یک مضرب بزرگ‌تر از خودش در این مجموعه دارد. پس هیچ‌کدام نمی‌توانند شمارندهٔ دو کارت دیگر باشند.

دو دستهٔ مطلوب بالا اشتراک ندارند؛ بنابراین تعدادشان را جمع می‌کنیم؛ این همان اصل جمع برای پیشامدهای ناسازگار است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۷–۱۴۹):
$n(A)=21+3=24$.

گام سوم: محاسبهٔ احتمال
با توجه به هم‌شانس بودن انتخاب‌ها، احتمال برابر نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به کل حالت‌هاست (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۶–۱۴۷):
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ـ استفاده از متمم:
پیشامد «حداقل یک مهره سیاه باشد» را $A$ می‌نامیم. متمم آن، پیشامد «هر دو مهره سبز باشند» است. طبق رابطهٔ احتمال متمم داریم $P(A')=1-P(A)$ (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۷ تا ۱۴۹). بنابراین:
$P(A')=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$.

گام دوم ـ شمارش حالت‌های انتخاب:
تعداد مهره‌های سبز را $x$ می‌گیریم؛ پس تعداد کل مهره‌ها $x+5$ است. دو مهره بدون جایگذاری خارج می‌شوند و ترتیب انتخاب آن‌ها اهمیتی ندارد؛ بنابراین، مانند مثال انتخاب مهره‌ها در کتاب، از ترکیب استفاده می‌کنیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۴):
$n(S)=\binom{x+5}{2},\qquad n(A')=\binom{x}{2}$.
با استفاده از نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به تعداد کل حالت‌های هم‌شانس (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۶ تا ۱۴۷)، داریم:
$\frac{\binom{x}{2}}{\binom{x+5}{2}}=\frac{1}{6}$.

گام سوم ـ حل معادله:
$\frac{x(x-1)}{(x+5)(x+4)}=\frac{1}{6}$
$\Rightarrow 6x(x-1)=(x+5)(x+4)$
$\Rightarrow 6x^2-6x=x^2+9x+20$
$\Rightarrow 5x^2-15x-20=0$
$\Rightarrow x^2-3x-4=0$
$\Rightarrow (x-4)(x+1)=0$.
پس $x=4$ یا $x=-1$؛ چون تعداد مهره‌ها نمی‌تواند منفی باشد، تعداد مهره‌های سبز $4$ است.

گام چهارم ـ محاسبهٔ اختلاف خواسته‌شده:
تعداد مهره‌های سبز به اندازهٔ $5-4=1$ از تعداد مهره‌های سیاه کمتر است.

پاسخ: گزینهٔ ۴