سوال ۱۱۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: استفاده از شرط حسابی‌بودن
در دنبالهٔ حسابی، اختلاف جمله‌های متوالی ثابت است؛ بنابراین برای سه جملهٔ نخست داریم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۳):
$b-a=c-b\quad\Rightarrow\quad a+c=2b\quad\Rightarrow\quad c=2b-a$.

گام دوم: استفاده از شرط هندسی‌بودن
در دنبالهٔ هندسی، هر جمله از ضرب جملهٔ قبلی در قدرنسبت ثابت و غیرصفر به دست می‌آید؛ پس مربع جملهٔ میانی برابر حاصل‌ضرب دو جملهٔ کناری است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۵–۲۶). برای جمله‌های داده‌شده می‌نویسیم:
$\left(\frac{a}{2}\right)^2=b\times\frac{c}{4}\quad\Rightarrow\quad a^2=bc$.
با جای‌گذاری رابطهٔ گام اول:
$a^2=b(2b-a)\quad\Rightarrow\quad a^2+ab-2b^2=0$.
اکنون تجزیه می‌کنیم:
$(a-b)(a+2b)=0$.
پس یا $a=b$ یا $a=-2b$. حالت نخست با متمایزبودن جمله‌ها ناسازگار است؛ بنابراین:
$a=-2b$.

گام سوم: محاسبهٔ مقدار خواسته‌شده
چون $b$ جملهٔ اول دنبالهٔ هندسی است، طبق تعریف کتاب غیرصفر است. قدرنسبت را از تقسیم جملهٔ دوم بر جملهٔ اول به دست می‌آوریم:
$r=\frac{a/2}{b}=\frac{a}{2b}=\frac{-2b}{2b}=-1$.
سؤال دو برابر قدرنسبت را می‌خواهد؛ پس:
$2r=2(-1)=-2$.

پاسخ: گزینهٔ ۴