کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول · ریاضی

سوال ۱۳۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۳۷ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۳۷ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول · سوال ۱۳۷ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله

اگر $n(A\cap B)=3n(A-B)=4n(B-A)$ و $n(A\cup B)=57$ باشد، تعداد اعضای مجموعهٔ $A$ کدام است؟

گزینهٔ ۱: ۳۳
گزینهٔ ۲: ۳۶
گزینهٔ ۳: ۴۵
گزینهٔ ۴: ۴۸

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: ناحیه‌های جدا از هم را مشخص می‌کنیم.
اجتماع دو مجموعه از سه بخشِ $A-B$ ، $A\cap B$ و $B-A$ تشکیل شده است. چون این بخش‌ها عضو مشترکی ندارند، تعداد اعضای اجتماع برابر مجموع تعداد اعضای آن‌هاست؛ این همان روش ناحیه‌بندی نمودار ون در کتاب است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۲–۱۳):
$n(A\cup B)=n(A-B)+n(A\cap B)+n(B-A)$ .

گام دوم: تعداد اعضای ناحیه‌ها را با یک متغیر می‌نویسیم.
طبق دادهٔ سؤال داریم:
$n(A\cap B)=3n(A-B)=4n(B-A)$ .
برای پرهیز از کسر، می‌گذاریم $n(A\cap B)=12k$ . بنابراین:
$n(A-B)=4k$ و $n(B-A)=3k$ .

گام سوم: از تعداد اعضای اجتماع استفاده می‌کنیم:
$4k+12k+3k=57\Rightarrow19k=57\Rightarrow k=3$ .
پس تعداد اعضای سه ناحیه برابر است با:
$n(A-B)=12$ ، $n(A\cap B)=36$ و $n(B-A)=9$ .

گام چهارم: اعضای $A$ شامل بخشِ فقط متعلق به $A$ و بخش اشتراک است؛ بنابراین:
$n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=12+36=48$ .

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است با کم‌کردن دوبارهٔ بخشِ فقط متعلق به $A$ از اجتماع، به $57-2\times12=33$ برسید. این کار نادرست است؛ برای به‌دست‌آوردن تعداد اعضای $A$ باید فقط بخش $B-A$ را از اجتماع حذف کرد.
گزینهٔ ۲: عدد $36$ تعداد اعضای اشتراک دو مجموعه است. انتخاب آن یعنی اعضای بخش $A-B$ را که آن‌ها نیز عضو $A$ هستند، به حساب نیاورده‌اید.
گزینهٔ ۳: عدد $45$ از جمع $36+9$ به دست می‌آید و تعداد اعضای $B$ است، نه $A$ . این اشتباه معمولاً از جابه‌جاگرفتن دو بخش $A-B$ و $B-A$ ناشی می‌شود.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

روش ناحیه‌بندی نمودار ون را در ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۲–۱۳ به یاد بیاورید: اجتماع دو مجموعه را به سه بخشِ جدا از هم تقسیم کنید.
اگر تعداد اعضای اشتراک را $12k$ بگیرید، از برابری‌های سؤال می‌توانید تعداد اعضای دو بخشِ غیرمشترک را برحسب $k$ بنویسید.
تعداد اعضای سه ناحیه به‌ترتیب $12k$ ، $4k$ و $3k$ است؛ پس $19k=57$ . پس از یافتن $k$ ، فقط دو ناحیه‌ای را جمع کنید که داخل $A$ هستند.

ریاضی ۱ · فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مجموعه، الگو و دنباله» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگان تمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول

تمرین رایگان

تمرین در پنل یادگیری