سوال ۱ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: نمایش جمله‌های هندسی
طبق تعریف دنبالهٔ هندسی، سه جملهٔ متوالی را به صورت $a,ar,ar^2$ می‌نویسیم که در آن $a\ne0$ و $r\ne0$ است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۲۵–۲۶).
با ضرب این جمله‌ها به‌ترتیب در $4$، $8$ و $16$، سه جملهٔ $4a,8ar,16ar^2$ به دست می‌آیند.

گام دوم: استفاده از شرط حسابی‌بودن
در سه جملهٔ متوالیِ حسابی، اختلاف جمله‌های پیاپی برابر است؛ بنابراین دو برابر جملهٔ میانی، برابر مجموع جمله‌های کناری است. این همان ویژگی واسطهٔ حسابی است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۴). پس:
$2(8ar)=4a+16ar^2$
چون $a\ne0$، دو طرف را بر $4a$ تقسیم می‌کنیم:
$4r=1+4r^2\Rightarrow4r^2-4r+1=0\Rightarrow(2r-1)^2=0$
بنابراین $r=\frac12$ و سه جملهٔ هندسی عبارت‌اند از:
$a,\frac a2,\frac a4$
سه جملهٔ حاصل از ضرب نیز $4a,4a,4a$ هستند. ثابت‌بودن این جمله‌ها با حسابی‌بودن سازگار است؛ زیرا اختلاف مشترک آن‌ها صفر است. نمونهٔ دنبالهٔ حسابی ثابت نیز در تمرین کتاب آمده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۴).

گام سوم: استفاده از برابری دو مجموع
طبق شرط دوم سؤال، مجموع مربعات جمله‌های هندسی برابر مجموع جمله‌های حسابی است:
$a^2+\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a4\right)^2=4a+4a+4a$
پس:
$a^2\left(1+\frac14+\frac1{16}\right)=12a\Rightarrow\frac{21}{16}a^2=12a$
با تقسیم بر $a\ne0$ داریم:
$\frac{21}{16}a=12\Rightarrow a=\frac{12\times16}{21}=\frac{64}{7}$
پس جملهٔ اول دنبالهٔ هندسی برابر $\frac{64}{7}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲