سوال ۱۳۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

گام اول: رابطهٔ میانگین با جمله‌های ابتدا و انتها را پیدا می‌کنیم.
در دنبالهٔ حسابی، اختلاف جمله‌های پیاپی ثابت است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۱). بنابراین مجموع جملهٔ اول و آخر، دوم و ماقبل آخر و دیگر جفت‌های هم‌فاصله از دو سر، همگی برابرند. اگر مجموع را $S_n$ و تعداد جمله‌ها را $n$ بنامیم، با نوشتن مجموع در دو جهت و جمع کردن آن‌ها داریم:
$2S_n=n(a+172)$
پس میانگین جمله‌ها برابر است با:
$\frac{S_n}{n}=\frac{a+172}{2}$
با توجه به میانگین داده‌شده:
$\frac{a+172}{2}=87\Rightarrow a+172=174\Rightarrow a=2$

گام دوم: قدرنسبت را به دست می‌آوریم.
چون جملهٔ دوم برابر $12$ است، داریم:
$d=12-a=12-2=10$

گام سوم: تعداد جمله‌ها را محاسبه می‌کنیم.
رابطهٔ جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسابی، $t_n=t_1+(n-1)d$ است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۲). با قرار دادن جملهٔ آخر در این رابطه:
$172=2+(n-1)\times10$
$170=10(n-1)\Rightarrow n-1=17\Rightarrow n=18$
دقت کنید که $17$ تعداد فاصله‌هاست، نه تعداد جمله‌ها.

گام چهارم: مجموع برابر حاصل‌ضرب تعداد جمله‌ها در میانگین است:
$S_n=n\times87=18\times87=1566$

پاسخ: گزینهٔ ۳