نمونه سوال فصل ۱ ریاضی دهم با جواب

در تعریف دنباله، پشت‌سرهم قرارگرفتن عددها مطرح است و لازم نیست میان جمله‌ها الگوی مشخصی وجود داشته باشد. همچنین در نماد $t_n$، اندیس جایگاه جمله را مشخص می‌کند، نه مقدار آن را. متغیرهای اندیس‌دار نیز فقط از نظر شیوهٔ نام‌گذاری با متغیرهای تک‌حرفی تفاوت دارند. بنابراین فقط عبارت نخست درست است. (صفحه‌های ۱۴، ۱۵، ۱۸ و ۱۹) پاسخ: گزینهٔ ۱

مجموعهٔ داده‌شده برابر $A=\{2,3,4,\ldots\}$ است. اگر مرجع $\mathbb{Z}$ باشد، متمم آن $\{\ldots,-2,-1,0,1\}$ خواهد بود که نامتناهی است. اگر مرجع $\mathbb{W}$ باشد، متمم به $\{0,1\}$ محدود می‌شود و دو عضو دارد. این تفاوت به وابستگی متمم به مجموعهٔ مرجع مربوط است. (صفحه‌های ۲، ۵، ۶ و ۸) پاسخ: گزینهٔ ۳

با ساده‌سازی داریم $-\sqrt{9}=-3$ و $\frac{6}{3}=2$. اعضای گویای مجموعه عبارت‌اند از $-3$، $0$، $2$ و $\frac{7}{2}$. از میان آن‌ها، $0$ و $2$ حسابی‌اند؛ پس فقط $-3$ و $\frac{7}{2}$ در $\mathbb{Q}-\mathbb{W}$ قرار می‌گیرند. بنابراین تعداد خواسته‌شده برابر $2$ است. (صفحهٔ ۲) پاسخ: گزینهٔ ۲

با قانون متمم اجتماع و متممِ متمم داریم $(A'\cup B)'=(A')'\cap B'=A\cap B'$. در نتیجه عبارت برابر است با $(A\cap B')\cup(A\cap B)$. بخش نخست اعضای $A$ خارج از $B$ و بخش دوم اعضای $A$ داخل $B$ را شامل می‌شود؛ پس اجتماع آن‌ها تمام $A$ است. (صفحه‌های ۸ و ۹) پاسخ: گزینهٔ ۴

از جملهٔ عمومی داریم $t_{n+1}=(n+1)^2+4(n+1)=n^2+6n+5$. بنابراین $t_{n+1}-t_n=2n+5$. شرط مسئله می‌دهد $2n+5=25$ و در نتیجه $n=10$. اکنون $t_n=t_{10}=10^2+4(10)=140$. (صفحه‌های ۱۸ و ۱۹) پاسخ: گزینهٔ ۱

چون مقایسه در مرحله‌ای یکسان انجام می‌شود، داریم $(4n+3)-(2n+13)=12$. پس $2n-10=12$ و $n=11$. مجموع قطعه‌ها در این مرحله برابر است با $a_n+b_n=6n+16$؛ بنابراین $a_{11}+b_{11}=6(11)+16=82$. استفاده از جملهٔ عمومی برای تعیین تعداد اجزای هر مرحله و توجه به معنای اندیس، مبنای حل است. (صفحه‌های ۱۴، ۱۵، ۱۸ و ۱۹) پاسخ: گزینهٔ ۲

از $t_1=2$ داریم $1+a+b=2$، پس $a+b=1$. همچنین $t_3=12$ می‌دهد $9+3a+b=12$، یعنی $3a+b=3$. با تفریق دو رابطه، $2a=2$ و در نتیجه $a=1$ و $b=0$ به دست می‌آید. بنابراین $t_n=n^2+n$. اکنون $t_{k+1}-t_k=(k+1)^2+(k+1)-(k^2+k)=2k+2$. از $2k+2=18$ نتیجه می‌شود $k=8$ و در نهایت $t_k=8^2+8=72$. (صفحه‌های ۱۸، ۱۹ و ۲۰) پاسخ: گزینهٔ ۳

جمله‌های دنباله تا عبور از کران مرجع عبارت‌اند از $5,12,21,32,45,60,77,96,117$. همچنین $t_{n+1}-t_n=2n+5>0$؛ پس جمله‌ها افزایشی‌اند و پس از $117$ نیز هیچ جمله‌ای به مرجع بازنمی‌گردد. بنابراین $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ و $B=\{5,12,21,32,45,60,77,96\}$. هر کدام هشت عضو دارند و تنها عضو مشترکشان $5$ است؛ پس اجتماع آن‌ها پانزده عضو دارد. اعضای $A'\cap B'$ همان اعضای مرجع‌اند که در هیچ‌یک از دو مجموعه نیستند. در نتیجه تعدادشان $100-15=85$ است. (صفحه‌های ۸، ۹، ۱۸ و ۱۹) پاسخ: گزینهٔ ۴

بازهٔ $A$ شرط $x\leq3$ و بازهٔ $B$ شرط $x>1$ را بیان می‌کند. پس اعضای مشترک آن‌ها دقیقاً شرط $1<x\leq3$ را دارند. بنابراین $A\cap B=(1,3]$ است؛ سر چپ حذف و سر راست حفظ می‌شود. (صفحهٔ ۳ و ۴)
پاسخ: گزینهٔ ۱

با استفاده از جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسابی داریم $t_2=t_1+d$ و $t_8=t_1+7d$؛ پس $t_2+t_8=2(t_1+4d)=2t_5$. بنابراین $2t_5=30$ و $t_5=15$. همچنین $t_4=15-d$ و $t_6=15+d$، در نتیجه $216=(15-d)(15+d)=225-d^2$ و $d^2=9$. چون دنباله نزولی است، $d=-3$. اکنون $t_1=t_5-4d=15-4(-3)=27$. (صفحهٔ ۲۳)
پاسخ: گزینهٔ ۳

طبق جملهٔ عمومی دنبالهٔ هندسی، $t_2=t_1r$، $t_3=t_1r^2$ و $t_4=t_1r^3$؛ بنابراین $t_2t_4=t_3^2=144$. اگر $t_2=x$ باشد، از شرط مجموع داریم $t_4=30-x$؛ پس $x(30-x)=144$ یا $(x-6)(x-24)=0$. در نتیجه $t_2$ می‌تواند $6$ یا $24$ باشد. همچنین $t_2^2=t_1t_3$؛ پس مقدارهای ممکن جملهٔ اول برابر $\dfrac{6^2}{12}=3$ و $\dfrac{24^2}{12}=48$ هستند. هر دو حالت دنباله‌ای هندسی معتبر با قدرنسبت‌های به‌ترتیب $2$ و $\dfrac12$ می‌سازند. مجموع خواسته‌شده $3+48=51$ است. (صفحهٔ ۲۵ و ۲۶)
پاسخ: گزینهٔ ۴

برای عضویت در $A$ باید $2\leq26-3n<17$ برقرار باشد. از نامساوی سمت چپ $n\leq8$ و از نامساوی سمت راست $n>3$ به‌دست می‌آید؛ بنابراین $A=\{4,5,6,7,8\}$. این بررسی بر معنای بازهٔ نیم‌باز و رابطهٔ جملهٔ عمومی تکیه دارد. (صفحهٔ ۳، ۴ و ۲۳) از طرفی $(-2)^{n-1}$ زمانی مثبت است که $n-1$ زوج باشد؛ پس $B=\{1,3,5,7\}$. (صفحهٔ ۲۵ و ۲۶) بنابراین $A\cup B=\{1,3,4,5,6,7,8\}$ و تنها عضو $U$ که در این اجتماع نیست، عدد $2$ است. (صفحهٔ ۱۱)
پاسخ: گزینهٔ ۲