سوال ۱۱۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

۱. شرط عضویت در اشتراک را می‌نویسیم. طبق تعریف بازه‌ها و اشتراک آن‌ها، هر عضو مشترک باید هر دو شرط را هم‌زمان داشته باشد (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳–۵):
$x\in A\cap B\iff \frac{4}{m+1}\leq x\leq\frac{5}{m+2}.$

۲. متناهی بودن را بررسی می‌کنیم. مجموعهٔ تهی و مجموعهٔ تک‌عضوی متناهی‌اند، ولی هر بازه با دو سر متمایز، حتی اگر محدود باشد، نامتناهی است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۵–۶). بنابراین:

• اگر $\frac{4}{m+1}<\frac{5}{m+2}$ باشد، اشتراک یک بازه با بی‌نهایت عضو است.
• اگر $\frac{4}{m+1}=\frac{5}{m+2}$ باشد، چون هر دو سر در بازه‌ها قرار دارند، اشتراک تک‌عضوی است.
• اگر $\frac{4}{m+1}>\frac{5}{m+2}$ باشد، اشتراک تهی است.

پس شرط لازم و کافی برای متناهی بودن اشتراک چنین است:
$\frac{4}{m+1}\geq\frac{5}{m+2}$.

۳. نامعادله را حل می‌کنیم. چون $m$ طبیعی است، هر دو مخرج مثبت‌اند و با ضرب در حاصل‌ضرب آن‌ها، جهت نامعادله تغییر نمی‌کند:
$4(m+2)\geq5(m+1)$
$4m+8\geq5m+5$
$m\leq3$.

۴. مقادیر طبیعی مجاز عبارت‌اند از $m\in\{1,2,3\}$. برای $m=1$ و $m=2$ اشتراک تهی است و برای $m=3$ داریم:
$A\cap B=\{1\}$.
بنابراین، تعداد مقادیر طبیعی مطلوب برابر با $3$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲