دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم · ریاضی

سوال ۱۱۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۳ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۳ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم · سوال ۱۱۳ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله

در یک دنباله هندسی، جملهٔ سوم جذر جملهٔ چهارم و جملهٔ پنجم برابر ۲۷ است. جمله اول دنباله چقدر از 12\frac{1}{2} کمتر است؟

  1. گزینهٔ ۱: 52\frac{5}{2}
  2. گزینهٔ ۲: 32\frac{3}{2}
  3. گزینهٔ ۳: 13\frac{1}{3}
  4. گزینهٔ ۴: 16\frac{1}{6}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

جملهٔ اول را aa و قدرنسبت را rr می‌نامیم. طبق فرمول جملهٔ عمومی دنبالهٔ هندسی، tn=arn−1t_n=ar^{n-1} و هر دو عدد aa و rr غیرصفرند (ریاضی ۱، صفحه‌های ۲۵–۲۶). بنابراین:
t3=ar2,t4=ar3,t5=ar4t_3=ar^2,\qquad t_4=ar^3,\qquad t_5=ar^4.

گام اول: شرط جذر را به رابطهٔ جبری تبدیل می‌کنیم. چون جملهٔ سوم جذر جملهٔ چهارم است، داریم:
ar2=ar3ar^2=\sqrt{ar^3}.
با مجذور کردن دو طرف:
a2r4=ar3a^2r^4=ar^3.
از آنجا که ar3≠0ar^3\ne0، دو طرف را بر آن تقسیم می‌کنیم:
ar=1ar=1.
پس a=1ra=\frac{1}{r}.

گام دوم: از مقدار جملهٔ پنجم استفاده می‌کنیم:
ar4=27 ⇒ 1rr4=27 ⇒ r3=27 ⇒ r=3ar^4=27\ \Rightarrow\ \frac{1}{r}r^4=27\ \Rightarrow\ r^3=27\ \Rightarrow\ r=3.
در نتیجه:
a=13a=\frac{1}{3}.
برای بررسی شرط اولیه، با این مقادیر داریم t3=3t_3=3 و t4=9t_4=9؛ پس واقعاً t3=t4t_3=\sqrt{t_4} است.

گام سوم: سؤال خودِ جملهٔ اول را نمی‌خواهد، بلکه می‌پرسد این جمله چقدر از 12\frac{1}{2} کمتر است. بنابراین:
12−a=12−13=3−26=16\frac{1}{2}-a=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}.

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: اگر قدرنسبت را به‌جای جملهٔ اول بگیرید و اختلاف آن با 12\frac{1}{2} را حساب کنید، به 3−12=523-\frac{1}{2}=\frac{5}{2} می‌رسید؛ اما سؤال مقدار کمتر بودن جملهٔ اول از 12\frac{1}{2} را می‌خواهد، نه اختلاف قدرنسبت با آن.
  • گزینهٔ ۲: اشتباه در شمارهٔ جمله‌ها و جهت محاسبهٔ اختلاف می‌تواند به 1+12=321+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} منجر شود. در این دنباله، 11 جملهٔ دوم است، نه جملهٔ اول؛ همچنین برای یافتن مقدار کمتر بودن، باید تفریق کرد، نه جمع.
  • گزینهٔ ۳: این گزینه حاصل توقف در میانهٔ حل است: 13\frac{1}{3} خودِ جملهٔ اول دنباله است. سؤال اختلاف این جمله با 12\frac{1}{2} را می‌خواهد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. فرمول جملهٔ عمومی دنبالهٔ هندسی را از ریاضی ۱، صفحه‌های ۲۵–۲۶، به یاد بیاورید و جمله‌های سوم، چهارم و پنجم را برحسب جملهٔ اول و قدرنسبت بنویسید.
  2. عبارت «جملهٔ سوم جذر جملهٔ چهارم است» یعنی t3=t4t_3=\sqrt{t_4}. با مجذور کردن و جای‌گذاری فرمول جمله‌ها، رابطه‌ای ساده میان جملهٔ اول و قدرنسبت به دست می‌آید؛ هر دو نیز غیرصفرند.
  3. رابطهٔ به‌دست‌آمده t1r=1t_1r=1 است. آن را در t5=t1r4=27t_5=t_1r^4=27 به کار ببرید تا ابتدا قدرنسبت و سپس جملهٔ اول را بیابید؛ در پایان، جملهٔ اول را از 12\frac{1}{2} کم کنید.

ریاضی ۱ · فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مجموعه، الگو و دنباله» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری