دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم · ریاضی

سوال ۱۳۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۳۷ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۳۷ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم · سوال ۱۳۷ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله

مجموعه‌های AA و BB به‌ترتیب دارای mm و kk عضو هستند. اگر m−k=14m-k=14 و اختلاف تعداد اعضای مجموعه‌های A∪BA\cup B و A∩BA\cap B برابر ۲۰ باشد، مجموعه B−AB-A چند عضو دارد؟

  1. گزینهٔ ۱: 88
  2. گزینهٔ ۲: 66
  3. گزینهٔ ۳: 44
  4. گزینهٔ ۴: 33
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: تعداد اعضای اشتراک را t=n(A∩B)t=n(A\cap B) می‌نامیم. طبق رابطهٔ تعداد اعضای اجتماع دو مجموعهٔ متناهی داریم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۱):
n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=m+k−tn(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=m+k-t.

چون اشتراک زیرمجموعهٔ اجتماع است، تعداد اعضای اجتماع از تعداد اعضای اشتراک کمتر نیست؛ بنابراین شرط اختلاف تعداد اعضای آن‌ها چنین نوشته می‌شود:
n(A∪B)−n(A∩B)=20n(A\cup B)-n(A\cap B)=20.
با جای‌گذاری به دست می‌آوریم:
m+k−2t=20m+k-2t=20.

گام دوم: مجموعهٔ B−AB-A شامل اعضای BB است که در اشتراک قرار ندارند؛ پس:
n(B−A)=k−tn(B-A)=k-t.
اکنون رابطهٔ قبل را طوری بازنویسی می‌کنیم که این عبارت در آن ظاهر شود:
(m−k)+2(k−t)=20(m-k)+2(k-t)=20.

گام سوم: با استفاده از دادهٔ m−k=14m-k=14 داریم:
14+2(k−t)=2014+2(k-t)=20،
2(k−t)=62(k-t)=6،
k−t=3k-t=3.

پس مجموعهٔ B−AB-A دارای 33 عضو است.
پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است با ترکیب نادرست داده‌ها به 88 برسید؛ اما اگر n(B−A)=8n(B-A)=8 باشد، از اختلاف تعداد اعضای دو مجموعه، n(A−B)=22n(A-B)=22 می‌شود. در این صورت اختلاف تعداد اعضای اجتماع و اشتراک برابر 22+8=3022+8=30 خواهد بود که با دادهٔ سؤال سازگار نیست.
  • گزینهٔ ۲: عدد 66 از تفریق 20−1420-14 به دست می‌آید؛ اما این تفاضل، دو برابر تعداد اعضای B−AB-A است. انتخاب این گزینه ناشی از فراموش‌کردن تقسیم بر 22 است.
  • گزینهٔ ۳: این انتخاب می‌تواند حاصل خطای محاسباتی در حل رابطهٔ تعداد اعضا باشد. اگر n(B−A)=4n(B-A)=4 باشد، باید n(A−B)=18n(A-B)=18 باشد و مجموع این دو ناحیه 2222 می‌شود، نه 2020.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. رابطهٔ تعداد اعضای اجتماع دو مجموعه را در ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۱، به یاد بیاورید؛ اعضای مشترک در جمع تعداد اعضای دو مجموعه دوبار شمرده می‌شوند.
  2. اگر t=n(A∩B)t=n(A\cap B) باشد، تعداد اعضای B−AB-A برابر k−tk-t است. همچنین اختلاف تعداد اعضای اجتماع و اشتراک را می‌توان به صورت m+k−2tm+k-2t نوشت.
  3. در رابطهٔ m+k−2t=20m+k-2t=20، عبارت سمت چپ را به صورت (m−k)+2(k−t)(m-k)+2(k-t) بازنویسی کنید و سپس از m−k=14m-k=14 استفاده کنید.

ریاضی ۱ · فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مجموعه، الگو و دنباله» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری