سوال ۱۳۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول ـ تغییر متغیر و تغییر مبنا:
قرار می‌دهیم $t=\log_3 x$. چون $x>1$ و مبنای لگاریتم بزرگ‌تر از یک است، داریم $t>0$. همچنین طبق تعریف لگاریتم، $x=3^t$ است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۰۹–۱۱۱).

با استفاده از فرمول تغییر مبنا و ویژگی لگاریتم توان (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۱۱ و صفحه‌های ۱۱۳–۱۱۴)، داریم:
$\log_9 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 9}=\frac{t}{2}$
و
$\log_{x^2}3=\frac{\log_3 3}{\log_3 x^2}=\frac{1}{2\log_3 x}=\frac{1}{2t}$.
پس عبارت موردنظر برابر است با:
$\log_9 x+3\log_{x^2}3=\frac{t}{2}+\frac{3}{2t}$.

گام دوم ـ یافتن کران پایین:
برای $t>0$، هر دو جمله مثبت‌اند. از نامنفی‌بودن مربع تفاضل ریشه‌های آن‌ها نتیجه می‌شود:
$\left(\sqrt{\frac{t}{2}}-\sqrt{\frac{3}{2t}}\right)^2\geq 0$
بنابراین:
$\frac{t}{2}+\frac{3}{2t}\geq 2\sqrt{\frac{t}{2}\cdot\frac{3}{2t}}=2\sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$.

گام سوم ـ بررسی امکان رسیدن به کران پایین:
برابری هنگامی رخ می‌دهد که دو جمله برابر باشند:
$\frac{t}{2}=\frac{3}{2t}\ \Longrightarrow\ t^2=3$.
چون $t>0$، مقدار $t=\sqrt{3}$ مجاز است و متناظر با $x=3^{\sqrt{3}}>1$ خواهد بود. پس کران پایین واقعاً عضوی از مجموعه است و کوچک‌ترین عضو مجموعهٔ $A$ برابر $\sqrt{3}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۴