سوال ۱۲۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

پاسخ تشریحی

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

• گزینهٔ ۲: ممکن است با توجه به ضریب‌های جمله‌های شامل $a$، مقدار $b$ را دقیقاً $2$ بگیرید یا جزء صحیح را با گرد کردن اشتباه کنید؛ اما $b=2-\frac{1}{a+1}$ همواره از $2$ کوچک‌تر است.
• گزینهٔ ۳: ممکن است با جمع کردن توان‌های $m$ و $n$ در عبارت $m^2n$ به عدد $3$ برسید؛ اما این کار مقدار لگاریتم را تعیین نمی‌کند و باید اثر مبنای $mn$ را نیز با تغییر مبنا در نظر گرفت.
• گزینهٔ ۴: ممکن است توان $2$ در $m^2$ را به‌اشتباه به کل لگاریتم منتقل کنید و در محاسبه به $4$ برسید؛ قاعدهٔ توان، توان را به ضریب لگاریتم تبدیل می‌کند، نه توانِ مقدار لگاریتم. همچنین مقدار $b$ از $2$ کوچک‌تر است.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

1. قاعدهٔ تغییر مبنای لگاریتم و ویژگی‌های لگاریتمِ حاصل‌ضرب و توان را مرور کنید؛ بهتر است هر دو لگاریتم مبنای یکسانی داشته باشند.
2. لگاریتم دوم را به مبنای $n$ ببرید: $b=\frac{\log_n(m^2n)}{\log_n(mn)}$. اکنون صورت و مخرج را برحسب $a$ بنویسید.
3. پس از ساده‌سازی، رابطه را به شکل $b=2-\frac{1}{a+1}$ بنویسید. با استفاده از $a>0$، بازهٔ کسر را مشخص کنید و سپس تعریف جزء صحیح را به کار ببرید.