دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم · ریاضی

سوال ۱۲۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۵ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۵ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم · سوال ۱۲۵ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۵: توابع نمایی و لگاریتمی

اگر مقادیر تقریبی log⁡27=2/8\log_2 7=2/8 و log⁡52=0/5\log_5 2=0/5 باشد، حاصل log⁡1410\log_{14}10 کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 1519\frac{15}{19}
  2. گزینهٔ ۲: 1019\frac{10}{19}
  3. گزینهٔ ۳: 1114\frac{11}{14}
  4. گزینهٔ ۴: 914\frac{9}{14}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

در صورت سؤال، علامت «/» در داده‌ها نشانهٔ ممیز است؛ بنابراین مقادیر تقریبی داده‌شده 2.82.8 و 0.50.5 هستند.

گام اول: تغییر مبنا
طبق رابطهٔ تغییر مبنا، داریم (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۱۳–۱۱۴):
log⁡ba=log⁡calog⁡cb\log_b a=\frac{\log_c a}{\log_c b}
پس با انتخاب مبنای 22:
log⁡1410=log⁡210log⁡214\log_{14}10=\frac{\log_2 10}{\log_2 14}

گام دوم: محاسبهٔ صورت کسر
از رابطهٔ معکوس‌بودن لگاریتم‌ها در دو مبنای جابه‌جا‌شده استفاده می‌کنیم (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۱۳–۱۱۴):
log⁡25=1log⁡52≃10.5=2\log_2 5=\frac{1}{\log_5 2}\simeq\frac{1}{0.5}=2
اکنون طبق ویژگی لگاریتم حاصل‌ضرب و با توجه به log⁡22=1\log_2 2=1 داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۱۱):
log⁡210=log⁡2(2×5)=log⁡22+log⁡25≃1+2=3\log_2 10=\log_2(2\times5)=\log_2 2+\log_2 5\simeq1+2=3

گام سوم: محاسبهٔ مخرج کسر
به همین روش:
log⁡214=log⁡2(2×7)=log⁡22+log⁡27≃1+2.8=3.8\log_2 14=\log_2(2\times7)=\log_2 2+\log_2 7\simeq1+2.8=3.8

گام چهارم: جای‌گذاری و ساده‌سازی
با تقریب‌های داده‌شده:
log⁡1410≃33.8=3038=1519\log_{14}10\simeq\frac{3}{3.8}=\frac{30}{38}=\frac{15}{19}

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۲: اگر هنگام محاسبهٔ log⁡210\log_2 10، جملهٔ log⁡22\log_2 2 را فراموش کنید، به 23.8=1019\frac{2}{3.8}=\frac{10}{19} می‌رسید. اما لگاریتم حاصل‌ضرب، مجموع لگاریتم هر دو عامل است.
  • گزینهٔ ۳: نزدیک‌بودن این کسر به جواب ممکن است باعث انتخاب آن با تخمین یا محاسبهٔ کم‌دقت شود؛ اما با تقریب‌های داده‌شده باید کسر 33.8\frac{3}{3.8} را ساده کرد و 1114\frac{11}{14} با این کسر برابر نیست.
  • گزینهٔ ۴: این گزینه ممکن است بر اثر خطا در تغییر مبنا یا محاسبات کسری انتخاب شود. با تبدیل درست به مبنای مشترک، صورت کسر 33 و مخرج آن 3.83.8 است و نسبت آن‌ها برابر 914\frac{9}{14} نمی‌شود.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. ویژگی لگاریتم حاصل‌ضرب و رابطهٔ تغییر مبنا را مرور کنید؛ بهتر است همهٔ لگاریتم‌ها را به مبنای مشترک ببرید.
  2. مبنای 22 مناسب است. ابتدا با رابطهٔ log⁡25=1log⁡52\log_2 5=\frac{1}{\log_5 2}، لگاریتم موردنیاز را از دادهٔ دوم به دست آورید.
  3. با تجزیهٔ 10=2×510=2\times5 و 14=2×714=2\times7، به log⁡210≃3\log_2 10\simeq3 و log⁡214≃3.8\log_2 14\simeq3.8 می‌رسید؛ اکنون رابطهٔ تغییر مبنا را به کار ببرید.

ریاضی ۲ · فصل ۵: توابع نمایی و لگاریتمی

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «توابع نمایی و لگاریتمی» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری