سوال ۱۳۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۳۲ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۰، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۳۲ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۰ · سوال ۱۳۲ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۵: توابع نمایی و لگاریتمی

دامنهٔ تابع با ضابطهٔ $f(x)=\frac{\log_4(x^2-x-2)}{\sqrt{x^2-1}+1}$ ، کدام است؟

گزینهٔ ۱: $(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$
گزینهٔ ۲: $(-1,2)$
گزینهٔ ۳: $(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$
گزینهٔ ۴: $(-2,1)$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

برای تعیین دامنه، باید تمام اجزای تابع هم‌زمان تعریف شده باشند و مخرج نیز صفر نشود.

گام اول: شرط لگاریتم
دامنهٔ تابع لگاریتمی، اعداد حقیقی مثبت است؛ بنابراین عبارت داخل لگاریتم باید اکیداً مثبت باشد (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۰۷–۱۰۹). مبنای $4$ نیز مثبت و مخالف $1$ است، پس مشکلی ندارد. در نتیجه:
$x^2-x-2>0$
با تجزیه داریم:
$(x-2)(x+1)>0$
دو عامل وقتی هم‌علامت‌اند که هر دو منفی یا هر دو مثبت باشند؛ بنابراین:
$x<-1\quad\text{یا}\quad x>2$
پس مجموعهٔ مجاز از نظر لگاریتم برابر است با:
$A=(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$
دو ریشه در این مجموعه نیستند، زیرا لگاریتم صفر تعریف نمی‌شود.

گام دوم: شرط رادیکال
برای تعریف ریشهٔ دوم در اعداد حقیقی، عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد:
$x^2-1\geq0\iff(x-1)(x+1)\geq0$
پس:
$B=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$

گام سوم: شرط مخرج
هرجا رادیکال تعریف شده باشد، داریم:
$\sqrt{x^2-1}\geq0\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{x^2-1}+1\geq1>0$
بنابراین مخرج هیچ‌گاه صفر نمی‌شود و محدودیت تازه‌ای ایجاد نمی‌کند.

گام چهارم: اشتراک شرط‌ها
تمام اعضای مجموعهٔ $A$ شرط رادیکال را نیز دارند؛ پس:
$D_f=A\cap B=(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۲: ممکن است با اشتباه در تعیین علامت، فاصلهٔ بین ریشه‌های عبارت داخل لگاریتم انتخاب شود؛ اما در بازهٔ $(-1,2)$ حاصل‌ضرب $(x-2)(x+1)$ منفی است و لگاریتم حقیقی تعریف نمی‌شود.
گزینهٔ ۳: این گزینه ممکن است از تجزیهٔ نادرست عبارت به‌صورت $(x+2)(x-1)$ به دست آید؛ درحالی‌که این حاصل‌ضرب برابر $x^2+x-2$ است، نه عبارت داده‌شده. مثلاً عدد $x=\frac{3}{2}$ در این گزینه قرار دارد، ولی عبارت داخل لگاریتم را منفی می‌کند.
گزینهٔ ۴: این گزینه می‌تواند نتیجهٔ تجزیهٔ نادرست و سپس انتخاب فاصلهٔ بین ریشه‌های اشتباه باشد. افزون بر این، عدد $x=0$ را شامل می‌شود که در آن هم عبارت زیر رادیکال و هم عبارت داخل لگاریتم منفی‌اند.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

شرط دامنهٔ تابع لگاریتمی را از فصل پنجم ریاضی ۲ به یاد بیاورید؛ سپس شرط تعریف ریشهٔ دوم و شرط ناصفر بودن مخرج را نیز در نظر بگیرید.
عبارت داخل لگاریتم را به‌صورت $(x-2)(x+1)$ تجزیه کنید و مثبت بودن آن را بررسی کنید. برای رادیکال نیز باید $x^2-1\geq0$ باشد.
حاصل‌ضرب داخل لگاریتم بیرون از فاصلهٔ دو ریشه مثبت است. بررسی کنید آیا این نواحی شرط رادیکال را هم دارند؛ توجه کنید که هرجا رادیکال تعریف شود، مخرج حداقل برابر $1$ است.

فصل «توابع نمایی و لگاریتمی» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.