سوال ۱۳۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

ابتدا مختصات نقطهٔ تقاطع را پیدا می‌کنیم و سپس فاصلهٔ آن را از مبدأ به دست می‌آوریم.

گام اول: تعیین دامنه و علامت طول نقطه
برای تعریف شدن رادیکال‌ها لازم است:
$y+3\geq 0,\qquad y-3\geq 0\quad\Rightarrow\quad y\geq 3$.
همچنین چون $\sqrt{y+3}>\sqrt{y-3}$، از معادلهٔ دوم نتیجه می‌شود $x>0$.

گام دوم: حل دستگاه
دو طرف معادلهٔ دوم را به توان دو می‌رسانیم:
$x^2=\left(\sqrt{y+3}-\sqrt{y-3}\right)^2$
$= (y+3)+(y-3)-2\sqrt{(y+3)(y-3)}$
$=2y-2\sqrt{y^2-9}$.
از معادلهٔ اول نیز داریم $x^2=2y$. بنابراین:
$2y=2y-2\sqrt{y^2-9}\quad\Rightarrow\quad\sqrt{y^2-9}=0$.
پس:
$y^2=9\quad\Rightarrow\quad y=\pm3$.
با توجه به شرط $y\geq3$، فقط $y=3$ پذیرفتنی است. اکنون:
$x^2=2(3)=6$.
چون $x>0$، داریم $x=\sqrt{6}$. این مقدار در معادلهٔ اصلی نیز برقرار است:
$\sqrt{3+3}-\sqrt{3-3}=\sqrt{6}$.
پس نقطهٔ تقاطع برابر $P(\sqrt{6},3)$ است.

گام سوم: محاسبهٔ فاصله از مبدأ
طبق فرمول فاصلهٔ دو نقطه، برای فاصلهٔ $P(x,y)$ از مبدأ $O(0,0)$ داریم $OP=\sqrt{x^2+y^2}$ (ریاضی ۲، صفحه‌های ۴ و ۵؛ کاربرد فاصله از مبدأ در صفحهٔ ۶).
بنابراین:
$OP=\sqrt{(\sqrt{6})^2+3^2}=\sqrt{6+9}=\sqrt{15}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴