سوال ۱۱۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: ابعاد اولیه را مشخص می‌کنیم.
چون نسبت طول به عرض $5$ به $4$ است، می‌توان نوشت:
$L_0=5k,\qquad W=4k,\qquad k>0$.
با افزایش طول، عرض تغییر نمی‌کند.

گام دوم: نسبت طلایی را به دست می‌آوریم.
طبق تعریف مستطیل طلایی، اگر طول جدید $L$ و عرض $W$ باشد، داریم:
$\frac{L+W}{L}=\frac{L}{W}$
(ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۹).
اگر $r=\frac{L}{W}$ بگیریم، این رابطه به صورت زیر درمی‌آید:
$1+\frac{1}{r}=r\ \Rightarrow\ r^2-r-1=0$.
پس:
$r=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$.
چون نسبت دو طول مثبت است، ریشهٔ منفی پذیرفتنی نیست؛ بنابراین:
$r=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
در نتیجه طول مستطیل طلایی برابر است با:
$L=4k\times\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

گام سوم: نسبت مساحت‌ها را محاسبه می‌کنیم.
مساحت مستطیل برابر حاصل‌ضرب طول و عرض است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۲–۱۳). چون عرض دو مستطیل یکسان است، در نسبت مساحت‌ها حذف می‌شود:
$\frac{A_{\text{طلایی}}}{A_{\text{اولیه}}}=\frac{L\times W}{L_0\times W}=\frac{L}{L_0}$.
بنابراین:
$\frac{A_{\text{طلایی}}}{A_{\text{اولیه}}}=\frac{4k\times\frac{1+\sqrt{5}}{2}}{5k}=\frac{2}{5}(1+\sqrt{5})=0.4(1+\sqrt{5})$.
این عبارت همان عبارت گزینهٔ چهارم است.

پاسخ: گزینهٔ ۴