سوال ۱۲۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

گام اول: تشخیص فاصلۀ موردنظر

چون $BH$ ارتفاعِ وارد از رأس $B$ بر ضلع $AC$ است، طول آن برابر فاصلۀ نقطۀ $B$ از خط $AC$ خواهد بود؛ مطابق تعریف فاصلۀ نقطه از خط، این فاصله در راستای عمود بر خط اندازه‌گیری می‌شود (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸).

گام دوم: یافتن مختصات رأس $B$

رأس $B$ محل تقاطع دو خط $AB$ و $BC$ است؛ بنابراین دستگاه زیر را حل می‌کنیم:

$\begin{cases}y+2x=7\\2y-7x=-19\end{cases}$

از معادلۀ اول داریم $y=7-2x$. با جای‌گذاری در معادلۀ دوم:

$2(7-2x)-7x=-19$

$14-11x=-19\quad\Rightarrow\quad x=3$

پس:

$y=7-2(3)=1\quad\Rightarrow\quad B(3،1)$

گام سوم: محاسبۀ فاصلۀ رأس از ضلع مقابل

طبق فرمول فاصلۀ نقطۀ $P(x_0,y_0)$ از خط $ax+by+c=0$ داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸):

$d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

معادلۀ خط $AC$ را به صورت استاندارد می‌نویسیم:

$AC:\;-3x+4y-17=0$

اکنون با جای‌گذاری مختصات $B$:

$BH=\dfrac{|-3(3)+4(1)-17|}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}=\dfrac{|-22|}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{22}{5}=4.4$

پس طول ارتفاع با مقدار درج‌شده در گزینۀ اول برابر است.

پاسخ: گزینهٔ ۱