دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۱ · ریاضی

سوال ۱۲۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۷ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۱، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۷ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۱ · سوال ۱۲۷ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۷: آمار و احتمال

احتمال شیوع یک بیماری در جامعه‌ای برابر ۰/۰۸ و احتمال بهبود یافتن فرد مبتلا به این بیماری برابر ۰/۵ است. احتمال این‌که فردی از این جامعه به این بیماری مبتلا شود و بهبود یابد، چند درصد است؟

  1. گزینهٔ ۱: ۰/۰۲
  2. گزینهٔ ۲: ۰/۰۴
  3. گزینهٔ ۳: ۲
  4. گزینهٔ ۴: ۴
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: پیشامدها را مشخص می‌کنیم. AA را پیشامد «ابتلای فرد به بیماری» و BB را پیشامد «بهبود یافتن فرد» می‌نامیم. بنابراین داده‌های سؤال عبارت‌اند از:
P(A)=0.08P(A)=0.08 و P(B∣A)=0.5P(B\mid A)=0.5.
دقت کنید که احتمال دوم مربوط به افراد مبتلاست؛ پس احتمال شرطی است، نه احتمال بهبود یک فرد دلخواه از جامعه.

گام دوم: سؤال احتمال «ابتلا و بهبود» را می‌خواهد. رخ دادن هر دو پیشامد با اشتراک آن‌ها نمایش داده می‌شود؛ بنابراین باید P(A∩B)P(A\cap B) را بیابیم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۳–۱۴۴).

طبق رابطهٔ احتمال شرطی داریم:
P(B∣A)=P(A∩B)P(A)P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
پس با ضرب دو طرف در P(A)P(A):
P(A∩B)=P(A)×P(B∣A)P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mid A) (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۵).
این رابطه به فرض استقلال نیاز ندارد؛ زیرا احتمال بهبود به شرط ابتلا در صورت سؤال داده شده است.

گام سوم: با جای‌گذاری داده‌ها به دست می‌آوریم:
P(A∩B)=0.08×0.5=0.04P(A\cap B)=0.08\times0.5=0.04.

گام چهارم: چون پاسخ به درصد خواسته شده است، احتمال اعشاری را در 100100 ضرب می‌کنیم:
0.04×100=40.04\times100=4.
بنابراین احتمال ابتلا و سپس بهبود فرد برابر با 4%4\% است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است دانش‌آموز احتمال بهبود را دو بار در محاسبه وارد کند و به 0.08×0.5×0.5=0.020.08\times0.5\times0.5=0.02 برسد. این کار نادرست است؛ احتمال شرطی بهبود فقط یک بار وارد می‌شود و نتیجه نیز باید به درصد تبدیل شود.
  • گزینهٔ ۲: این گزینه حاصل محاسبهٔ درستِ احتمال، یعنی 0.08×0.5=0.040.08\times0.5=0.04، اما بدون تبدیل آن به درصد است. سؤال مقدار درصدی را می‌خواهد، نه مقدار اعشاری احتمال را.
  • گزینهٔ ۳: ممکن است دانش‌آموز پس از محاسبهٔ احتمال ابتلا و بهبود، ضریب 0.50.5 را دوباره اعمال کند و سپس حاصل را به درصد تبدیل کند. این نصف‌کردنِ دوباره مبنایی ندارد؛ احتمال بهبود در همان ضرب نخست لحاظ شده است.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. تعریف احتمال شرطی را در صفحهٔ ۱۴۵ ریاضی ۲ مرور کن؛ عبارت «بهبود یافتن فرد مبتلا» نشان می‌دهد که ابتلا از قبل شرط شده است.
  2. اگر AA پیشامد ابتلا و BB پیشامد بهبود باشد، دادهٔ دوم P(B∣A)P(B\mid A) است و خواستهٔ سؤال P(A∩B)P(A\cap B). رابطهٔ احتمال شرطی را برای یافتن اشتراک بازنویسی کن.
  3. احتمال ابتلا را در احتمال بهبود به شرط ابتلا ضرب کن؛ سپس برای تبدیل احتمال اعشاری به درصد، حاصل را در 100100 ضرب کن.

ریاضی ۲ · فصل ۷: آمار و احتمال

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «آمار و احتمال» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۱

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری