سوال ۱۳۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

برای محاسبهٔ پاسخ موردنظر سؤال، مدال گرفتن دو ورزشکار را مستقل فرض می‌کنیم؛ یعنی مدال گرفتن یکی، احتمال مدال گرفتن دیگری را تغییر نمی‌دهد. طبق قاعدهٔ پیشامدهای مستقل، احتمال وقوع هم‌زمان برابر حاصل‌ضرب احتمال‌هاست (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۷–۱۴۸).

گام اول: پیشامدها را تعریف می‌کنیم.
$A$: مدال گرفتن ورزشکار اول، با احتمال $P(A)=0.6$.
$B$: مدال گرفتن ورزشکار دوم، با احتمال $P(B)=0.4$.
پس احتمال‌های مدال نگرفتن عبارت‌اند از:
$P(A^c)=1-0.6=0.4$
$P(B^c)=1-0.4=0.6$

گام دوم: «فقط یکی مدال بگیرد» را به دو حالت تقسیم می‌کنیم:

• ورزشکار اول مدال بگیرد و ورزشکار دوم مدال نگیرد:

$P(A\cap B^c)=P(A)P(B^c)=0.6\times0.6=0.36$

• ورزشکار اول مدال نگیرد و ورزشکار دوم مدال بگیرد:

$P(A^c\cap B)=P(A^c)P(B)=0.4\times0.4=0.16$

گام سوم: این دو حالت ناسازگارند؛ یعنی نمی‌توانند هم‌زمان رخ دهند. بنابراین احتمال‌هایشان را جمع می‌کنیم:
$P(\text{فقط یکی مدال بگیرد})=0.36+0.16=0.52$

نکتهٔ دقت: استقلال در صورت سؤال صریحاً بیان نشده است؛ پاسخ بالا بر اساس فرض استقلال به دست می‌آید. بدون این فرض یا اطلاعاتی دربارهٔ احتمال مدال گرفتن هم‌زمان، دو احتمال داده‌شده به‌تنهایی برای تعیین پاسخ کافی نیستند.

پاسخ: گزینهٔ ۱