سوال ۱۳۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: شرط تابع‌بودن را به کار می‌بریم. در نمایش زوج‌مرتب، اگر دو زوج مؤلفهٔ اول یکسان داشته باشند، مؤلفهٔ دوم آن‌ها نیز باید برابر باشد؛ یعنی هر ورودی فقط یک خروجی دارد (ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۸–۹۹).

در رابطهٔ داده‌شده، دو زوج $(7,1-3n^2)$ و $(7,-2n)$ ورودی یکسان دارند؛ بنابراین:
$1-3n^2=-2n$
با انتقال جمله‌ها و تجزیه داریم:
$3n^2-2n-1=0$
$(3n+1)(n-1)=0$
پس دو مقدار نامزد عبارت‌اند از:
$n=-\frac{1}{3}\quad\text{یا}\quad n=1$

گام دوم: هر نامزد را در کل رابطه بررسی می‌کنیم. وجود عبارت $\frac{1}{n}$ ایجاب می‌کند که $n\ne0$ باشد؛ هر دو نامزد این شرط را دارند.

اگر $n=1$ باشد، زوج آخر برابر $(1,2)$ می‌شود. از طرف دیگر، زوج $(1,-1)$ نیز در رابطه وجود دارد؛ بنابراین ورودی $1$ دو خروجی متفاوت خواهد داشت. پس این مقدار پذیرفتنی نیست.

اگر $n=-\frac{1}{3}$ باشد، زوج آخر $(-3,2)$ می‌شود و دو زوج با ورودی $7$ نیز هر دو خروجی $\frac{2}{3}$ دارند. در این حالت رابطه به صورت زیر است:
$f=\{(7,\frac{2}{3}),(1,-1),(2,-\frac{1}{3}),(-3,2)\}$
در نتیجه هر ورودی دقیقاً یک خروجی دارد و شرط تابع‌بودن برقرار است.

گام سوم: طبق معنای نماد مقدار تابع، زوج $(a,b)$ نشان می‌دهد که $f(a)=b$ (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۰۲). بنابراین از زوج $(2,n)$ می‌خوانیم:
$f(2)=n=-\frac{1}{3}$

پاسخ: گزینهٔ ۱