سوال ۱۴۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

برای تابع‌بودن، هر مؤلفهٔ اول باید فقط یک مؤلفهٔ دوم داشته باشد؛ بنابراین اگر چند زوج با مؤلفهٔ اول یکسان و مؤلفه‌های دوم متفاوت داشته باشیم، باید فقط یکی از آن‌ها را نگه داریم. این همان ملاکی است که در بررسی تابع‌بودن خط عمودی نیز به کار می‌رود (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷).

گام اول: تعیین مقادیر صحیح مجاز
از رابطهٔ $x=\frac{72}{y^2-1}$ می‌دانیم که $y\ne\pm1$؛ زیرا مخرج نباید صفر شود.

اگر $y=0$ باشد، داریم:
$x=\frac{72}{-1}=-72$.
پس $(-72,0)$ یکی از اعضای مجموعه است.

اگر $|y|\ge2$ باشد، مخرج مثبت است و برای صحیح‌بودن $x$ باید مقسوم‌علیه مثبتِ $72$ باشد. مقسوم‌علیه‌های مثبت این عدد عبارت‌اند از:
$1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72$.
از میان این اعداد، فقط با افزودن یک واحد به $3$، $8$ و $24$، مربع کامل به دست می‌آید:
$3+1=2^2,\qquad8+1=3^2,\qquad24+1=5^2$.
بنابراین مقادیر غیرصفرِ مجاز عبارت‌اند از $y=\pm2,\pm3,\pm5$ و داریم:
$y=\pm2\Rightarrow x=24$،
$y=\pm3\Rightarrow x=9$،
$y=\pm5\Rightarrow x=3$.

گام دوم: نوشتن مجموعه و شمارش حذف‌ها
پس مجموعهٔ داده‌شده برابر است با:
$f=\{(-72,0),(24,2),(24,-2),(9,3),(9,-3),(3,5),(3,-5)\}$.

هر یک از مؤلفه‌های اولِ $24$، $9$ و $3$ به دو مؤلفهٔ دوم متفاوت مربوط شده است. از هر یک از این سه گروه باید دست‌کم یک زوج حذف شود؛ پس دست‌کم $3$ حذف لازم است.

این تعداد کافی نیز هست؛ مثلاً با حذف $(24,-2)$، $(9,-3)$ و $(3,-5)$، برای هر مؤلفهٔ اول تنها یک مؤلفهٔ دوم باقی می‌ماند. بنابراین حداقل تعداد اعضایی که باید حذف شوند، $3$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲