دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۳۹۸ · ریاضی

سوال ۱۳۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۳۹ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۳۹۸، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۳۹ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۳۹۸ · سوال ۱۳۹ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۷: آمار و احتمال

احتمال موفقیت فردی، در آزمون اول 0/7 و در آزمون دوم 0/6 است. اگر این فرد در آزمون اول موفق شود، احتمال موفقیت وی در آزمون دوم 0/8 است. با کدام احتمال، لااقل در یکی از این دو آزمون، موفق می‌شود؟

  1. گزینهٔ ۱: 0/74
  2. گزینهٔ ۲: 0/76
  3. گزینهٔ ۳: 0/82
  4. گزینهٔ ۴: 0/84
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: پیشامدها را تعریف می‌کنیم:
AA: موفقیت در آزمون اول؛
BB: موفقیت در آزمون دوم.
پس داده‌های سؤال عبارت‌اند از:
P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(B∣A)=0.8P(A)=0.7,\qquad P(B)=0.6,\qquad P(B\mid A)=0.8.

گام دوم: احتمال موفقیت در هر دو آزمون را به دست می‌آوریم. طبق تعریف احتمال شرطی، داریم P(B∣A)=P(A∩B)P(A)P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۵). بنابراین:
P(A∩B)=P(A)P(B∣A)=0.7×0.8=0.56P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=0.7\times0.8=0.56.
توجه کنید که دو پیشامد مستقل نیستند؛ زیرا P(B∣A)=0.8P(B\mid A)=0.8 با P(B)=0.6P(B)=0.6 برابر نیست. پس نباید برای محاسبهٔ اشتراک، احتمال‌های غیرشرطی را در هم ضرب کنیم.

گام سوم: «لااقل در یکی از دو آزمون موفق شود» یعنی در آزمون اول یا دوم یا هر دو موفق شود؛ بنابراین پیشامد مطلوب A∪BA\cup B است. طبق رابطهٔ احتمال اجتماع، احتمال اشتراک را از مجموع احتمال‌ها کم می‌کنیم تا موفقیت هم‌زمان دوبار شمرده نشود (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۴۳–۱۴۴):
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
در نتیجه:
P(A∪B)=0.7+0.6−0.56=0.74P(A\cup B)=0.7+0.6-0.56=0.74.

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۲: ممکن است بر اثر خطای محاسباتی، احتمال اشتراک را 0.540.54 بگیرید و به 0.760.76 برسید؛ اما حاصل درست ضرب 0.7×0.80.7\times0.8 برابر 0.560.56 است.
  • گزینهٔ ۳: اگر احتمال شرطی را به‌اشتباه در احتمال موفقیت آزمون دوم ضرب کنید، اشتراک را 0.6×0.8=0.480.6\times0.8=0.48 می‌گیرید و به 0.820.82 می‌رسید. چون شرط، موفقیت در آزمون اول است، باید احتمال شرطی در احتمال موفقیت آزمون اول ضرب شود.
  • گزینهٔ ۴: ممکن است با استفادهٔ نادرست از روش متمم، عبارت 1−0.8×0.2=0.841-0.8\times0.2=0.84 را بنویسید. اما این حاصل‌ضرب، احتمال شکست در هر دو آزمون نیست؛ دادهٔ 0.80.8 احتمال موفقیت در آزمون دوم به شرط موفقیت در آزمون اول است.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. عبارت «لااقل در یکی» را با مفهوم اجتماع دو پیشامد مرتبط کنید؛ سپس تعریف احتمال شرطی را از درس اول فصل آمار و احتمال به یاد آورید.
  2. اگر AA موفقیت در آزمون اول و BB موفقیت در آزمون دوم باشد، دادهٔ شرطی سؤال P(B∣A)P(B\mid A) است. برای یافتن احتمال موفقیت در هر دو آزمون، از P(A∩B)=P(A)P(B∣A)P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A) استفاده کنید.
  3. پس از محاسبهٔ اشتراک، آن را از مجموع احتمال‌های موفقیت در دو آزمون کم کنید؛ یعنی عبارت 0.7+0.6−(0.7×0.8)0.7+0.6-(0.7\times0.8) را حساب کنید.

ریاضی ۲ · فصل ۷: آمار و احتمال

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «آمار و احتمال» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۳۹۸

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری