سوال ۱۱۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

گام اول: میانگین و میانهٔ داده‌های اولیه را مقایسه می‌کنیم.
داده‌ها را به صورت $a,a+1,\ldots,a+n-1$ در نظر می‌گیریم. به دلیل تقارن اعداد متوالی، میانگین برابر نصف مجموع اولین و آخرین داده است:
$\bar{x}=\frac{a+(a+n-1)}{2}=a+\frac{n-1}{2}$.

طبق روش کتاب، میانه در تعداد فرد، دادهٔ وسط و در تعداد زوج، میانگین دو دادهٔ وسط است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۴–۱۵۵).
اگر $n=2k+1$ باشد، دادهٔ وسط برابر $a+k$ است؛ پس $Q_2=a+k=\bar{x}$.
اگر $n=2k$ باشد، دو دادهٔ وسط $a+k-1$ و $a+k$ هستند؛ بنابراین:
$Q_2=\frac{(a+k-1)+(a+k)}{2}=a+k-\frac{1}{2}=\bar{x}$.
پس در هر دو حالت، میانگین و میانهٔ داده‌های اولیه برابرند.

گام دوم: اثر افزودن مقدار ثابت را بررسی می‌کنیم.
با افزودن $2$ به هر یک از $n$ داده، مجموع داده‌ها $2n$ افزایش می‌یابد؛ بنابراین میانگین جدید برابر است با:
$\bar{x}_{\mathrm{جدید}}=\frac{n\bar{x}+2n}{n}=\bar{x}+2$.
ترتیب داده‌ها نیز تغییر نمی‌کند و دادهٔ وسط یا هر دو دادهٔ وسط، $2$ افزایش می‌یابند؛ پس:
$Q_{2,\mathrm{جدید}}=Q_2+2$.

گام سوم: اختلاف دو معیار جدید را حساب می‌کنیم:
$Q_{2,\mathrm{جدید}}-\bar{x}_{\mathrm{جدید}}=(Q_2+2)-(\bar{x}+2)=Q_2-\bar{x}=0$.
بنابراین اختلاف میانه و میانگین داده‌های جدید صفر است.

پاسخ: گزینهٔ ۱