دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۱ · ریاضی

سوال ۱۱۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۸ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۱، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۸ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۱ · سوال ۱۱۸ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۷: آمار و احتمال

۹ داده آماری را در نظر بگیرید. اختلاف هشت داده آماری، از میانگین برابر +1+1 یا −1-1 و اختلاف یک داده از میانگین برابر صفر است. انحراف معیار این داده‌ها، کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 2\sqrt{2}
  2. گزینهٔ ۲: 222\sqrt{2}
  3. گزینهٔ ۳: 23\frac{2}{3}
  4. گزینهٔ ۴: 223\frac{2\sqrt{2}}{3}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول ــ نوشتن رابطهٔ مناسب:
طبق تعریف کتاب، واریانس میانگینِ مجذور اختلاف داده‌ها از میانگین است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۸–۱۵۹):
σ2=∑i=1N(xi−Xˉ)2N\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar X)^2}{N}
انحراف معیار نیز جذر واریانس است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۹–۱۶۰).

گام دوم ــ محاسبهٔ مجموع مجذور اختلاف‌ها:
اختلاف هشت داده از میانگین، برابر +1+1 یا −1-1 است. چون (+1)2=(−1)2=1(+1)^2=(-1)^2=1، هر یک از این هشت داده سهمی برابر 11 در مجموع مجذورها دارد. اختلاف دادهٔ باقی‌مانده صفر است و سهم آن نیز 02=00^2=0 خواهد بود. پس:
∑i=19(xi−Xˉ)2=8×1+0=8\sum_{i=1}^{9}(x_i-\bar X)^2=8\times1+0=8

گام سوم ــ محاسبهٔ واریانس و انحراف معیار:
تعداد کل داده‌ها N=9N=9 است؛ داده‌ای که اختلافش از میانگین صفر است نیز در شمار داده‌ها قرار می‌گیرد. بنابراین:
σ2=89\sigma^2=\frac{8}{9}
اکنون جذر می‌گیریم:
σ=89=83=223\sigma=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است با اشتباه گرفتن مخرج فرمول واریانس با تعداد دسته‌های اختلاف، مجموع مجذورها را بر 44 تقسیم کنید و به 2\sqrt{2} برسید؛ اما مخرج باید تعداد کل داده‌ها، یعنی 99، باشد.
  • گزینهٔ ۲: این پاسخ از جذر گرفتن مجموع مجذور اختلاف‌ها، یعنی 8\sqrt{8}، به دست می‌آید. برای محاسبهٔ انحراف معیار باید پیش از جذر گرفتن، این مجموع را بر تعداد کل داده‌ها تقسیم کرد.
  • گزینهٔ ۳: ممکن است در ساده‌سازی رادیکال، به‌اشتباه 8\sqrt{8} را برابر 22 بگیرید و به 23\frac{2}{3} برسید؛ درحالی‌که 8=22\sqrt{8}=2\sqrt{2} است.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. تعریف واریانس و انحراف معیار را در بخش آمار توصیفی مرور کنید: ابتدا میانگینِ مجذور اختلاف داده‌ها از میانگین را می‌یابیم و سپس جذر می‌گیریم.
  2. مجذور هر دو اختلافِ +1+1 و −1-1 برابر 11 است؛ بنابراین دانستن تعداد علامت‌های مثبت و منفی برای محاسبهٔ مجموع مجذورها لازم نیست.
  3. در صورت کسرِ واریانس، هشت جملهٔ برابر 11 و یک جملهٔ صفر دارید. مخرج را تعداد همهٔ داده‌ها قرار دهید و در پایان جذر کسر را ساده کنید.

ریاضی ۲ · فصل ۷: آمار و احتمال

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «آمار و احتمال» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۱

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری