سوال ۱۳۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

نکتهٔ ضروری دربارهٔ صورت سؤال: در ضابطهٔ ارسالی، نمادهای $\Lambda$ و $r$ مشخص نشده‌اند؛ بنابراین پاسخ عددی از همین متن به‌تنهایی قابل استخراج نیست. پاسخ تأییدشده با این خوانشِ احتمالی سازگار است: $f(x)=\begin{cases}\dfrac{8+x^3}{|x+2|}&x\ne-2\\a&x=-2\end{cases}$. حل زیر مشروط به همین اصلاح است.

گام اول ـ شرط پیوستگی فقط از چپ:
طبق تعریف پیوستگی یک‌طرفه، باید $\lim_{x\to-2^-}f(x)=f(-2)=a$ باشد و پیوستگی راست برقرار نباشد (ریاضی ۲، صفحات ۱۳۹–۱۴۰).

گام دوم ـ تجزیه و ساده‌سازی:
با اتحاد مجموع دو مکعب داریم: $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$. پس برای $x\ne-2$، ضابطه به صورت $f(x)=\dfrac{x+2}{|x+2|}(x^2-2x+4)$ درمی‌آید.

گام سوم ـ محاسبهٔ حد چپ:
در سمت چپِ $-2$ داریم $x+2<0$؛ بنابراین $|x+2|=-(x+2)$ و در نتیجه $f(x)=-(x^2-2x+4)$. با استفاده از پیوستگی چندجمله‌ای‌ها و جای‌گذاری در عبارت ساده‌شده (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۱)، به دست می‌آوریم: $\lim_{x\to-2^-}f(x)=-\bigl((-2)^2-2(-2)+4\bigr)=-(4+4+4)=-12$. پس برای پیوستگی چپ باید $a=-12$ باشد.

گام چهارم ـ بررسی «فقط از چپ»:
در سمت راستِ $-2$ داریم $|x+2|=x+2$؛ پس $\lim_{x\to-2^+}f(x)=\lim_{x\to-2^+}(x^2-2x+4)=12$. این مقدار با $f(-2)=-12$ برابر نیست؛ بنابراین تابع از راست پیوسته نیست و فقط پیوستگی چپ دارد.

با فرض اصلاح ضابطه به صورت بیان‌شده، پاسخ: گزینهٔ ۱