سوال ۱۲۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

ابتدا توجه می‌کنیم که $a\ne0$ است تا ضابطهٔ $f$ تعریف شود. برای یافتن وارون، می‌نویسیم:
$y=1+\frac{2x}{a}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{a}{2}(y-1)$
پس:
$f^{-1}(x)=\frac{a}{2}(x-1)$.

هر دو شاخه تابع خطی‌اند و در بازهٔ مربوط به خود پیوسته‌اند؛ بنابراین فقط باید پیوستگی در محل اتصال، یعنی $x=-1$، بررسی شود. پیوستگی توابع چندجمله‌ای در ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۱ بیان شده است. همچنین طبق تعریف پیوستگی، حدهای چپ و راست در محل اتصال باید با مقدار تابع برابر باشند (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۳۹–۱۴۰).

چون ورودی $-1$ در شاخهٔ اول قرار دارد، داریم:
$g(-1)=f(-1)=1-\frac{2}{a}$.
از طرف دیگر:
$\lim_{x\to-1^-}g(x)=f^{-1}(-1)=\frac{a}{2}(-1-1)=-a$.
بنابراین شرط پیوستگی چنین است:
$1-\frac{2}{a}=-a$.
با ضرب در $a$ و تجزیه:
$a-2=-a^2\quad\Longrightarrow\quad a^2+a-2=0\quad\Longrightarrow\quad(a+2)(a-1)=0$.
پس $a=-2$ یا $a=1$.

اکنون شرط تقاطع با سمت مثبت محور افقی را به کار می‌بریم. هر ورودی مثبت در شاخهٔ اول قرار دارد؛ پس ریشهٔ مثبت باید از حل معادلهٔ زیر به دست آید:
$1+\frac{2x}{a}=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{a}{2}$.
برای آنکه $x>0$ باشد، باید $a<0$ باشد؛ بنابراین از میان دو مقدار ممکن، $a=-2$ پذیرفته می‌شود.

در نتیجه:
$g(-1)=1-\frac{2}{-2}=2$.

پاسخ: گزینهٔ ۳