سوال ۱۲۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

گام اول: محاسبهٔ پارامتر

چون $x\to0^-$، در نزدیکی صفر داریم $x<0$؛ بنابراین:
$|x|=-x$
و در نتیجه:
$|x-|x||=|x-(-x)|=|2x|=-2x$.

پس با تجزیهٔ مخرج و حذف عامل $x$، که در همسایگی محذوف صفر ناصفر است، به دست می‌آوریم:
$a=\lim_{x\to0^-}\frac{-2x}{x(x+2)}=\lim_{x\to0^-}\frac{-2}{x+2}=-1$.

گام دوم: تعیین جهت نزدیک‌شدن زاویه

اکنون حد خواسته‌شده برابر است با:
$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}\tan(-x)$.

با قرار دادن $t=-x$، چون ضرب در عدد منفی جهت نامساوی را عوض می‌کند، داریم:
$x\to\frac{\pi}{2}^+\quad\Longrightarrow\quad t\to-\frac{\pi}{2}^-$.

گام سوم: بررسی علامت نسبت مثلثاتی

می‌نویسیم:
$\tan t=\frac{\sin t}{\cos t}$.

وقتی $t$ از چپ به $-\frac{\pi}{2}$ نزدیک می‌شود، سینوس به $-1$ میل می‌کند و کسینوس با مقادیر منفی به صفر نزدیک می‌شود:
$\sin t\to-1,\qquad \cos t\to0^-$.

مطابق قاعدهٔ حدهای بی‌نهایتِ کسری، علامت صورت و جهت نزدیک‌شدن مخرج به صفر، علامت بی‌نهایت را مشخص می‌کند (ریاضی ۳، صفحه‌های ۵۶–۵۷). در اینجا نسبت دو مقدار منفی، مثبت است و اندازهٔ آن بدون کران افزایش می‌یابد؛ پس:
$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}\tan(ax)=\lim_{t\to-\frac{\pi}{2}^-}\frac{\sin t}{\cos t}=+\infty$.

پاسخ: گزینهٔ ۴