سوال ۱۲۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: ساده‌کردن جزء صحیح در حد داده‌شده

نماد $[t]$، بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی $t$ است. وقتی $x$ از سمت راست به $\frac{1}{2}$ نزدیک می‌شود، در بازهٔ $\frac{1}{2}<x<1$ داریم:
$-1<-x<-\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad[-x]=-1$.
پس در این همسایگی:
$\frac{a+3[-x]}{1-2x}=\frac{a-3}{1-2x}$.

گام دوم: تعیین شرط پارامتر

مخرج هنگام $x\to\frac{1}{2}^{+}$ با مقادیر منفی به صفر میل می‌کند. طبق قاعدهٔ علامت حدهای نامتناهی، برای آنکه حاصل کسر $-\infty$ شود، صورت ثابت باید مثبت باشد (ریاضی ۳، صفحه‌های ۵۶–۵۷):
$a-3>0\quad\Longrightarrow\quad a>3$.
اگر $a=3$ باشد، کسر در این همسایگی صفر است؛ اگر $a<3$ باشد، حد آن $+\infty$ می‌شود. بنابراین شرط لازم و کافی همان $a>3$ است.

گام سوم: محاسبهٔ حد خواسته‌شده

عبارت داخل جزء صحیح را به صورت زیر می‌نویسیم:
$\frac{x}{a}-x=\left(\frac{1}{a}-1\right)x$.
از $a>3$ نتیجه می‌شود:
$-1<\frac{1}{a}-1<-\frac{2}{3}$.
برای همهٔ $x$های بازهٔ $0<x<1$، عبارت بالا منفی است و همچنین:
$-1<-x<\left(\frac{1}{a}-1\right)x<0$.
پس در یک همسایگی دوطرفه از $\frac{1}{2}$، عبارت داخل کروشه همواره بین $-1$ و $0$ قرار دارد و جزء صحیح آن ثابت است:
$\left[\frac{x}{a}-x\right]=-1$.
در نتیجه:
$\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}}\left[\frac{x}{a}-x\right]=-1$.

پاسخ: گزینهٔ ۴