نمونه سوال فصل ۳ ریاضی دوازدهم با جواب

برای ورودی‌های ناصفرِ نزدیک به صفر، مقدار $x^2$ مثبت و بسیار کوچک است؛ بنابراین $\frac{1}{x^2}$ می‌تواند از هر عدد مثبت دلخواه بزرگ‌تر شود. نوشتن $\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty$ توصیف همین رفتار است و به معنای وجود یک حد حقیقی یا تعریف مقدار تابع در صفر نیست. (صفحهٔ ۵۴) پاسخ: گزینهٔ ۲

چون مخرج در $x=2$ صفر است و حد داده‌شده حقیقی است، صورت نیز باید در این نقطه صفر شود؛ پس $8+2a+b=0$ و در نتیجه $b=-8-2a$. با استفاده از رابطهٔ تقسیم داریم $x^3+ax+b=(x-2)(x^2+2x+a+4)$. بنابراین، با حذف عامل مشترک، حد برابر است با $\frac{a+12}{3}$. از $\frac{a+12}{3}=5$ نتیجه می‌شود $a=3$ و سپس $b=-14$. پس $a+b=-11$. این حل بر رابطهٔ باقیمانده و حذف عامل مشترک استوار است. (صفحه‌های ۵۰ و ۵۱) پاسخ: گزینهٔ ۳

از اتحاد تفاضل مکعب‌ها داریم $\sqrt[3]{x}-2=\frac{x-8}{x^{2/3}+2x^{1/3}+4}$. همچنین با ضرب در مزدوج، $\sqrt{x+1}-3=\frac{x-8}{\sqrt{x+1}+3}$. پس برای $x\ne8$ در نزدیکی نقطهٔ موردنظر، کسر برابر است با $\frac{\sqrt{x+1}+3}{x^{2/3}+2x^{1/3}+4}$. اکنون با جای‌گذاری به دست می‌آید $\frac{3+3}{4+4+4}=\frac{1}{2}$. (صفحه‌های ۵۲ و ۵۳) پاسخ: گزینهٔ ۱

شرط مسئله معادل است با $0<(x-2)^2<\frac{1}{100}$؛ بنابراین باید $0<|x-2|<\frac{1}{10}$ باشد. پس شعاع $\frac{1}{10}$ مناسب است، زیرا دو سر بازه در آن قرار ندارند. هر شعاع بزرگ‌تر، نقاطی با فاصلهٔ بیشتر از $\frac{1}{10}$ از مرکز را نیز در بر می‌گیرد و شرط برای همهٔ آنها برقرار نیست. (صفحهٔ ۵۴) پاسخ: گزینهٔ ۴

مساحت رنگ‌نشده پس از مرحلهٔ $n-1$ برابر $\frac{1}{2^{n-1}}$ است. پس از مرحلهٔ $n$، نصف این مقدار، یعنی $\frac{1}{2^n}$، رنگ‌نشده می‌ماند. در مرحلهٔ $n+1$ نیز نصف مقدار اخیر رنگ می‌شود؛ بنابراین مساحت افزوده‌شده در این مرحله $\frac{1}{2^{n+1}}$ است. نسبت خواسته‌شده برابر است با $\frac{2^{n-1}}{2^{n+1}}=\frac{1}{4}$. (صفحه‌های ۵۸ و ۵۹) پاسخ: گزینهٔ ۲

اگر $a\ne2$ باشد، جملهٔ غالب $(a-2)x^3$ است. چون توان آن فرد است، رفتار آن در دو بی‌نهایت علامت‌های مخالف دارد؛ پس لازم است $a=2$. در این صورت $P(x)=(b+1)x^2+5x-4$ است. برای میل‌کردن تابع به منفی بی‌نهایت در هر دو جهت، ضریب جملهٔ درجهٔ دوم باید منفی باشد؛ یعنی $b+1<0$. اگر این ضریب صفر باشد، جملهٔ خطی باقی می‌ماند و دو رفتار هم‌علامت نخواهند بود. بنابراین شرط لازم و کافی $a=2$ و $b<-1$ است. (صفحه‌های ۶۲ و ۶۳) پاسخ: گزینهٔ ۴

جمله‌های غالب صورت و مخرج به‌ترتیب $-6x^3$ و $2x^2$ هستند؛ بنابراین رفتار کسر مانند $\frac{-6x^3}{2x^2}=-3x$ است. وقتی $x\to-\infty$، مقدار $-3x$ به مثبت بی‌نهایت میل می‌کند. پس حد نامتناهی داده‌شده مثبت است. (صفحهٔ ۶۳) پاسخ: گزینهٔ ۱

برای وجود حد حقیقی، صورت باید در $x=1$ صفر شود؛ پس $1+a+b+4=0$ و بنابراین $a+b=-5$. با استفاده از این رابطه، تقسیم صورت بر $x-1$ می‌دهد: $x^3+ax^2+bx+4=(x-1)(x^2+(a+1)x-4)$. پس کسر اولیه در نزدیکی نقطه برابر است با $\frac{x^2+(a+1)x-4}{x-1}$. برای آنکه این کسر نیز حد حقیقی داشته باشد، صورت جدید باید در $x=1$ صفر شود؛ یعنی $1+a+1-4=0$، پس $a=2$ و $b=-7$. اکنون صورت اولیه به شکل $(x-1)^2(x+4)$ تجزیه می‌شود؛ بنابراین $L=5$. در نتیجه $a+b+L=2-7+5=0$. (صفحه‌های ۵۰، ۵۱ و ۵۲) پاسخ: گزینهٔ ۳

از $\lim_{x\to a}f(x)=-3$ نتیجه می‌شود که صورت نسبت نخست در نزدیکی $a$ منفی و از صفر دور است. همچنین $g(x)$ با مقادیر منفی به صفر میل می‌کند؛ بنابراین طبق قاعدهٔ علامت در حدهای نامتناهی، $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty$ است (صفحهٔ ۵۶). در نسبت دوم، صورت به صفر و مخرج به عدد ناصفر $-3$ میل می‌کند؛ پس $\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{0}{-3}=0$ است؛ همان روشی که در محاسبهٔ حدهای کسری به کار می‌رود (صفحهٔ ۵۳). پاسخ: گزینهٔ ۱

ابتدا تفریق را انجام می‌دهیم: $\frac{3x^2+2x-1}{x^2+x+2}-3=\frac{3x^2+2x-1-3(x^2+x+2)}{x^2+x+2}=\frac{-x-7}{x^2+x+2}$. بنابراین حد خواسته‌شده برابر است با $\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^2-7x}{x^2+x+2}$. مطابق روش تقسیم صورت و مخرج بر بزرگ‌ترین توان مخرج، داریم $\lim_{x\to+\infty}\frac{-1-\frac{7}{x}}{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}=-1$ (صفحهٔ ۶۰). پاسخ: گزینهٔ ۳

اگر $a-2\ne0$ باشد، درجهٔ صورت یک واحد از درجهٔ مخرج بیشتر است و کسر در $+\infty$ رفتاری مانند $(a-2)x$ دارد؛ بنابراین حد آن متناهی نخواهد بود. پس $a=2$ است (صفحهٔ ۶۳). اکنون با تقسیم صورت و مخرج بر $x^2$، حد در $+\infty$ برابر $b$ می‌شود؛ ازاین‌رو $b=-1$ است (صفحهٔ ۶۰). در نتیجه $f(x)=\frac{-x^2-3}{x^2-4}$. وقتی $x\to(-2)^-$، صورت به $-7$ میل می‌کند و مخرج $(x-2)(x+2)$ با مقادیر مثبت به صفر نزدیک می‌شود. پس طبق قاعدهٔ علامت حدهای نامتناهی، حد خواسته‌شده $-\infty$ است (صفحهٔ ۵۶). پاسخ: گزینهٔ ۴

بنویسید $P(x)=ux^3+vx^2+wx+t$. در این صورت $\frac{P(x)-2x^3}{x^2}=(u-2)x+v+\frac{w}{x}+\frac{t}{x^2}$. برای آنکه حد این عبارت در $+\infty$ متناهی باشد، باید $u=2$ باشد؛ سپس حد برابر $v$ است و در نتیجه $v=-1$ به دست می‌آید (صفحه‌های ۶۰ و ۶۳). پس $P(x)=2x^3-x^2+wx+t$. از $P(1)=0$ داریم $t=-w-1$. بنابراین $P(x)=(x-1)(2x^2+x+w+1)$؛ این تجزیه با رابطهٔ تقسیم چندجمله‌ای سازگار است (صفحه‌های ۴۹ و ۵۰). برای $x\ne1$، کسر $\frac{P(x)}{x-1}$ برابر $2x^2+x+w+1$ است و حد آن در $x=1$ برابر $w+4$ می‌شود (صفحهٔ ۵۳). پس $w+4=5$، یعنی $w=1$ و $t=-2$. اکنون $P(x)=2x^3-x^2+x-2$ است. باقیماندهٔ تقسیم بر $x+1$ برابر $P(-1)=-2-1-1-2=-6$ است (صفحهٔ ۵۰). پاسخ: گزینهٔ ۲