در مورد تابع با ضابطهٔ f(x)=\frac{x^۲-۱}{x+|x|}، کدام بیان، درست است؟

\lim_{x\to \circ^+}f(x)=-\infty

\lim_{x\to \circ^-}f(x)=+\infty

\lim_{x\to \circ^-}f(x)=-\infty

\lim_{x\to \circ^+}f(x)=+\infty

کنکور تجربی ۱۳۹۸ · ریاضی

سوال ۱۴۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۴۴ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۳۹۸، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۴۴ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۳۹۸ · سوال ۱۴۴ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۳: حد بی‌نهایت و حد در بی‌نهایت

در مورد تابع با ضابطهٔ $f(x)=\frac{x^2-1}{x+|x|}$ ، کدام بیان، درست است؟

گزینهٔ ۱: $\lim_{x\to \circ^-}f(x)=+\infty$
گزینهٔ ۲: $\lim_{x\to \circ^-}f(x)=-\infty$
گزینهٔ ۳: $\lim_{x\to \circ^+}f(x)=+\infty$
گزینهٔ ۴: $\lim_{x\to \circ^+}f(x)=-\infty$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: دامنهٔ تابع را مشخص می‌کنیم. با استفاده از تعریف قدرمطلق، اگر $x<0$ باشد، داریم $|x|=-x$ ؛ بنابراین $x+|x|=x-x=0$ و کسر تعریف نمی‌شود. در $x=0$ نیز مخرج صفر است. اما اگر $x>0$ باشد، $|x|=x$ و مخرج برابر $2x$ و ناصفر است. پس دامنهٔ تابع $D_f=(0,+\infty)$ است.

گام دوم: حد چپ را بررسی می‌کنیم. چون در سمت چپ صفر هیچ نقطه‌ای از دامنهٔ تابع وجود ندارد، نمی‌توان برای این تابع حد چپ در صفر در نظر گرفت. در نتیجه، دو بیان مربوط به نزدیک‌شدن از چپ نادرست‌اند.

گام سوم: حد راست را محاسبه می‌کنیم. برای $x>0$ داریم:
$f(x)=\frac{x^2-1}{2x}$ .
هنگامی که $x\to0^+$ ، صورت به $-1$ نزدیک می‌شود و مخرج از مقادیر مثبت به صفر میل می‌کند. به‌ویژه، برای $0<x<1$ ، صورت منفی و مخرج مثبت است؛ بنابراین مقدار کسر منفی است و قدرمطلق آن بدون کران افزایش می‌یابد. این همان رفتار حد نامتناهی یک‌طرفه است که در تمرین‌های حد نامتناهی و تفسیر آن بررسی شده است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۷).

پس $\lim_{x\to0^+}\frac{x^2-1}{x+|x|}=-\infty$ .

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است دانش‌آموز برای مقادیر منفی نیز به‌اشتباه $|x|=x$ بگذارد و با مخرج منفی به این نتیجه برسد. اما برای $x<0$ مخرج دقیقاً صفر است و تابع در سمت چپ صفر اصلاً تعریف نشده است.
گزینهٔ ۲: ممکن است دانش‌آموز از منفی‌بودن صورت نزدیک صفر، حد منفی نامتناهی را برای هر دو سمت نتیجه بگیرد. ولی در سمت چپ صفر هیچ نقطه‌ای از دامنه وجود ندارد؛ بنابراین حد چپ قابل طرح نیست.
گزینهٔ ۳: این انتخاب معمولاً از توجه به مثبت‌بودن مخرج و نادیده‌گرفتن علامت صورت ناشی می‌شود. نزدیک صفر از راست، صورت به $-1$ نزدیک می‌شود و منفی است؛ پس خارج‌قسمت نمی‌تواند به مثبت بی‌نهایت میل کند.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

پیش از محاسبهٔ حد، تعریف قدرمطلق را برای مقادیر مثبت و منفی به کار ببر و دامنهٔ تابع را مشخص کن.
برای $x<0$ ، عبارت $x+|x|$ صفر می‌شود؛ پس بررسی کن کدام حد یک‌طرفه را می‌توان برای این تابع در نظر گرفت.
در سمت راست صفر، مخرج برابر $2x$ و مثبت است. اکنون علامت صورت را نزدیک صفر و رفتار کسر را هنگام کوچک‌شدن مخرج بررسی کن.

ریاضی ۳ · فصل ۳: حد بی‌نهایت و حد در بی‌نهایت

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «حد بی‌نهایت و حد در بی‌نهایت» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگان تمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۳۹۸

تمرین رایگان

تمرین در پنل یادگیری