سوال ۱۴۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

گام اول: بررسی جایگذاری مستقیم
با قرار دادن $x=-8$، صورت و مخرج هر دو صفر می‌شوند:
$(-8)^2+10(-8)+16=0$ و $12+6\sqrt[3]{-8}=0$.
پس با حالت مبهم $\frac{0}{0}$ روبه‌رو هستیم و باید عامل صفرشونده را آشکار و حذف کنیم؛ این همان روش رفع ابهام با تجزیه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۲).

گام دوم: تجزیهٔ صورت و مخرج
داریم:
$x^2+10x+16=(x+2)(x+8)$،
$12+6\sqrt[3]{x}=6(\sqrt[3]{x}+2)$.
برای تجزیهٔ عامل $x+8$ از اتحاد مجموع مکعب‌ها استفاده می‌کنیم:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
بنابراین:
$x+8=(\sqrt[3]{x}+2)((\sqrt[3]{x})^2-2\sqrt[3]{x}+4)$.
تمرین مشابهی با عامل‌های $x+8$ و $\sqrt[3]{x}+2$ نیز در کتاب آمده است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۷).

گام سوم: حذف عامل مشترک
برای $x\ne-8$، عامل $\sqrt[3]{x}+2$ ناصفر است؛ پس در محاسبهٔ حد می‌توان آن را ساده کرد:
$\frac{x^2+10x+16}{12+6\sqrt[3]{x}}=\frac{(x+2)(\sqrt[3]{x}+2)((\sqrt[3]{x})^2-2\sqrt[3]{x}+4)}{6(\sqrt[3]{x}+2)}=\frac{(x+2)((\sqrt[3]{x})^2-2\sqrt[3]{x}+4)}{6}$.

گام چهارم: محاسبهٔ حد عبارت ساده‌شده
وقتی $x\to-8$، داریم $\sqrt[3]{x}\to-2$. بنابراین:
$\lim_{x\to-8}\frac{x^2+10x+16}{12+6\sqrt[3]{x}}=\frac{(-8+2)((-2)^2-2(-2)+4)}{6}=\frac{(-6)(4+4+4)}{6}=-12$.

پاسخ: گزینهٔ ۳