سوال ۱۴۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

گام اول: ساده‌کردن عبارت مثلثاتی
با استفاده از اتحاد تفاضل دو زاویه داریم:
$\sin(\frac{3\pi}{2}-x)=\sin\frac{3\pi}{2}\cos x-\cos\frac{3\pi}{2}\sin x=-\cos x$.
پس معادله به شکل زیر درمی‌آید:
$-4\sin x\cos x=1$.
با اتحاد $2\sin x\cos x=\sin 2x$ نتیجه می‌شود:
$-2\sin 2x=1\ \Rightarrow\ \sin 2x=-\frac{1}{2}$.
روش تبدیل حاصل‌ضرب سینوس و کسینوس به سینوس دوبرابر زاویه، در مثال‌های معادلات مثلثاتی کتاب نیز به کار رفته است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۷–۴۸).

گام دوم: یافتن جواب‌ها در بازهٔ خواسته‌شده
قرار می‌دهیم $t=2x$. چون $x\in[0,2\pi]$، داریم $t\in[0,4\pi]$.
طبق روش حل معادلهٔ $\sin t=-\frac{1}{2}$، جواب‌های کلی عبارت‌اند از:
$t=2k\pi-\frac{\pi}{6}$ یا $t=2k\pi+\frac{7\pi}{6}$، که $k\in\mathbb{Z}$ است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۵).
با محدودکردن این جواب‌ها به بازهٔ $[0,4\pi]$، به دست می‌آید:
$t\in\left\{\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6},\frac{19\pi}{6},\frac{23\pi}{6}\right\}$.
اکنون با تقسیم هر جواب بر $2$ داریم:
$x\in\left\{\frac{7\pi}{12},\frac{11\pi}{12},\frac{19\pi}{12},\frac{23\pi}{12}\right\}$.

گام سوم: محاسبهٔ مجموع جواب‌ها
$\sum x=\frac{7\pi+11\pi+19\pi+23\pi}{12}=\frac{60\pi}{12}=5\pi$.

پاسخ: گزینهٔ ۴