سوال ۱۴۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

برای اکیداً نزولی بودن، باید به ازای هر دو ورودی با شرط $x_1<x_2$، رابطهٔ $f(x_1)>f(x_2)$ برقرار باشد؛ بنابراین ثابت بودن تابع در یک بازه، اکیداً نزولی بودن آن را تأمین نمی‌کند (ریاضی ۳، صفحه‌های ۷–۹).

گام اول: نقاط تغییر علامت عبارت‌های داخل قدرمطلق را پیدا می‌کنیم:
$x+2=0\Rightarrow x=-2$ و $x-1=0\Rightarrow x=1$.
پس ضابطهٔ تابع را در سه بخش بررسی می‌کنیم.

گام دوم: اگر $x<-2$ باشد، هر دو عبارت داخل قدرمطلق منفی‌اند؛ بنابراین:
$f(x)=-(x+2)-(x-1)=-2x-1$.
این ضابطه اکیداً نزولی است؛ زیرا برای $x_1<x_2$ داریم:
$f(x_1)-f(x_2)=2(x_2-x_1)>0$.
پس تابع در بازهٔ $(-\infty,-2)$ اکیداً نزولی است.

گام سوم: اگر $-2\le x\le1$ باشد، عبارت اول نامنفی و عبارت دوم نامثبت است؛ پس:
$f(x)=(x+2)-(x-1)=3$.
بنابراین تابع در این بخش ثابت است، نه اکیداً نزولی. به همین دلیل، بازهٔ بزرگ‌تر $(-\infty,1)$ نیز شرط اکیداً نزولی بودن را ندارد.

گام چهارم: اگر $x>1$ باشد، هر دو عبارت داخل قدرمطلق مثبت‌اند؛ پس:
$f(x)=(x+2)+(x-1)=2x+1$.
این ضابطه با افزایش ورودی افزایش می‌یابد و اکیداً صعودی است.

در نتیجه، از میان بازه‌های داده‌شده تنها $(-\infty,-2)$ شرط مسئله را دارد.
پاسخ: گزینهٔ ۱