سوال ۱۱۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

نکتهٔ مهم: پاسخ تأییدشدهٔ اعلام‌شده با شرط دامنهٔ تابع مرکب سازگار نیست. گزینهٔ دوم پاسخِ موردنظر طراح به نظر می‌رسد، اما با صورت فعلی سؤال، هیچ گزینه‌ای جواب دقیق نیست.

گام اول: تعیین دامنهٔ نامعادله

به دلیل وجود لگاریتم، دامنهٔ تابع برابر است با:

$D_f=(0,+\infty)$

طبق تعریف دامنهٔ ترکیب توابع، برای تعریف شدن $f(f(x))$ باید هم $x$ در دامنهٔ تابع باشد و هم $f(x)$ در دامنهٔ تابع بیرونی قرار بگیرد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳–۱۴). بنابراین:

$x>0,\qquad f(x)>0$

چون توان پنجم علامت پایه را حفظ می‌کند، شرط دوم معادل است با:

$(x+\log x)^5>0\iff x+\log x>0$

از طرف دیگر، برای $x>0$، عبارت $f(x^5)$ تعریف شده است. پس دامنهٔ مشترک دو طرف نامعادله چنین است:

$D=\{x>0\mid x+\log x>0\}$

گام دوم: بررسی یکنوایی تابع

روی اعداد مثبت، هر دو تابع $x$ و $\log x$ اکیداً صعودی‌اند؛ بنابراین مجموع آن‌ها نیز اکیداً صعودی است. تابع توان پنجم نیز روی اعداد حقیقی اکیداً صعودی است؛ در نتیجه $f$ روی دامنه‌اش اکیداً صعودی است. مطابق تعریف تابع اکیداً صعودی، ترتیب ورودی‌ها با ترتیب خروجی‌ها یکسان است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۶–۷).

پس برای ورودی‌های مجاز داریم:

$f(f(x))<f(x^5)\iff f(x)<x^5$

گام سوم: حل نامعادله با حفظ شرط دامنه

با جای‌گذاری ضابطهٔ تابع و استفاده از اکیداً صعودی بودن توان پنجم:

$(x+\log x)^5<x^5\iff x+\log x<x$

بنابراین:

$\log x<0\iff 0<x<1$

اما این بازه باید با دامنهٔ گام اول اشتراک گرفته شود. در نتیجه جواب دقیق برابر است با:

$S=\{x\in(0,1)\mid x+\log x>0\}$

اگر ریشهٔ معادلهٔ $x+\log x=0$ را $\alpha$ بنامیم، چون این عبارت پیوسته و اکیداً صعودی است و از مقادیر منفی به مثبت می‌رسد، دقیقاً یک ریشه در بازهٔ $(0,1)$ دارد. پس:

$S=(\alpha,1),\qquad \alpha+\log\alpha=0$

چرا گزینهٔ دوم دقیق نیست؟

برای نمونه، عدد $x=\frac{1}{10}$ در بازهٔ گزینهٔ دوم قرار دارد، ولی با لگاریتم معمول داریم:

$x+\log x=\frac{1}{10}-1=-\frac{9}{10}<0$

پس $f(x)<0$ و لگاریتمِ ورودی در تابع بیرونی تعریف نمی‌شود؛ یعنی $f(f(x))$ اصلاً مقدار حقیقی ندارد. کتاب نیز تأکید می‌کند که دامنهٔ ترکیب باید از تعریف آن تعیین شود و نباید هنگام ساده‌سازی از آن صرف‌نظر کرد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۴).

بنابراین تنها با نادیده گرفتن شرط دامنه، گزینهٔ دوم حاصل می‌شود؛ جواب دقیق صورت فعلی سؤال در گزینه‌ها نیست.

پاسخ: هیچ‌یک از گزینه‌ها؛ گزینهٔ ۲ پاسخِ موردنظر طراح، اما فاقد شرط لازم دامنه است.