سوال ۱۱۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

نکتهٔ مهم: صورت سؤالِ نوشته‌شده با کلید اعلام‌شده سازگار نیست. ابتدا تبدیل‌ها را دقیق انجام می‌دهیم تا این ناسازگاری روشن شود.

گام اول ـ انتقال به چپ: تابع اولیه را $h(x)=\sqrt{2x}-3$ می‌نامیم. برای انتقال یک واحد در جهت منفی محور $x$ها، باید $x$ را با $x+1$ جایگزین کنیم؛ بنابراین:
$h_1(x)=h(x+1)=\sqrt{2(x+1)}-3$.
دقت کنید که حاصل جایگزینی در عبارت زیر رادیکال، $2(x+1)=2x+2$ است، نه $2x+1$.

گام دوم ـ قرینه‌سازی نسبت به محور $x$ها: در این تبدیل، طول هر نقطه ثابت می‌ماند و عرض آن در $-1$ ضرب می‌شود؛ پس باید علامت کل ضابطه تغییر کند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۵–۱۶):
$h_2(x)=-h_1(x)=-\sqrt{2x+2}+3$.

گام سوم ـ انتقال به بالا: با انتقال پنج واحد در جهت مثبت محور $y$ها، به خروجی تابع $5$ اضافه می‌کنیم:
$g(x)=h_2(x)+5=8-\sqrt{2x+2}$.
دامنهٔ این تابع از شرط $2x+2\geq 0$، برابر $x\geq -1$ است.

گام چهارم ـ محاسبهٔ طول نقطهٔ برخورد: در محل برخورد با تابع ثابت، عرض دو نمودار برابر است؛ بنابراین:
$8-\sqrt{2x+2}=\frac{7}{2}$
$\sqrt{2x+2}=8-\frac{7}{2}=\frac{9}{2}$.
چون دو طرف نامنفی‌اند، با توان دوم گرفتن داریم:
$2x+2=\frac{81}{4}\quad\Longrightarrow\quad 2x=\frac{73}{4}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{73}{8}$.
این مقدار در دامنه قرار دارد و با جای‌گذاری نیز تساوی برقرار می‌شود، اما در گزینه‌ها نیست.

بررسی کلید: برای مقدار اعلام‌شده در گزینهٔ سوم داریم:
$g\left(\frac{1}{8}\right)=8-\sqrt{\frac{1}{4}+2}=8-\frac{3}{2}=\frac{13}{2}$.
پس گزینهٔ سوم با تابع ثابتِ نوشته‌شده در سؤال برخورد ندارد. لازم است صورت سؤال یا کلید بازبینی شود؛ از داده‌های فعلی نمی‌توان گزینهٔ سوم را نتیجه گرفت. اگر تابع ثابت به‌جای $f(x)=\frac{7}{2}$، برابر $f(x)=\frac{13}{2}$ باشد، گزینهٔ اعلام‌شده درست خواهد بود و فقط در این صورت:
پاسخ: گزینهٔ ۳