سوال ۱۱۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

نکتهٔ نگارشی: با توجه به پاسخ تأییدشده، ممیز در گزینه‌ها با «/» نوشته شده است؛ بنابراین «۲/۴» در گزینهٔ سوم یعنی $2.4$، نه کسر $\frac{2}{4}$.

گام اول: ضریب جملهٔ درجهٔ دوم باید صفر باشد.
طبق روش تعیین علامت، باید ناحیه‌هایی را پیدا کنیم که عبارت در آن‌ها منفی است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۱). اگر ضریب $x^2$ ناصفر باشد، عبارت درجهٔ دوم در دو انتهای محور هم‌علامت است؛ بنابراین نمی‌تواند دقیقاً برای $x>a$ منفی و برای همهٔ $x<a$ نامنفی باشد. پس:
$2a+3=0\quad\Rightarrow\quad a=-\frac{3}{2}$

گام دوم: مقدار پارامتر طبیعی را تعیین می‌کنیم.
اکنون نامعادله به صورت زیر درمی‌آید:
$(4b-5)x+4c+1<0$
برای اینکه جواب این نامعادله نیم‌خطی رو به راست باشد، ضریب $x$ باید منفی باشد؛ زیرا تقسیم بر عدد منفی جهت نامساوی را عوض می‌کند (ریاضی ۱، صفحه‌های ۸۹–۹۰):
$4b-5<0\quad\Rightarrow\quad b<\frac{5}{4}$
با توجه به طبیعی‌بودن $b$، داریم:
$b=1$
پس نامعادله برابر است با:
$-x+4c+1<0\quad\Rightarrow\quad x>4c+1$

گام سوم: مرز بازه‌ها را برابر قرار می‌دهیم.
مجموعهٔ جواب به‌دست‌آمده $(4c+1,+\infty)$ است و طبق صورت سؤال باید با $(a,+\infty)$ برابر باشد. بنابراین:
$4c+1=a=-\frac{3}{2}$
$4c=-\frac{5}{2}\quad\Rightarrow\quad c=-\frac{5}{8}$
بازبودن سر بازه نیز با اکیدبودن نامعادله سازگار است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۹۲–۹۳).

گام چهارم: نسبت خواسته‌شده را محاسبه می‌کنیم.
$\frac{a}{c}=\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{5}{8}}=\frac{3}{2}\times\frac{8}{5}=\frac{12}{5}=2.4$

پاسخ: گزینهٔ ۳