سوال ۱۱۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

نکتهٔ نگارشی: در این سؤال، «۴/۵» نمایش اعشاریِ $4.5=\frac{9}{2}$ است، نه کسر $\frac{4}{5}$؛ چون با افزایش قاعده و ارتفاع، مساحت افزایش می‌یابد.

۱. مدل‌سازی طول‌ها
مانند روش حل مسئلهٔ هندسی در کتاب، ابتدا طول‌ها را برحسب یک مجهول می‌نویسیم و سپس از شرط مساحت، معادله تشکیل می‌دهیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۶).

قاعدهٔ اولیه را $x$ می‌گیریم؛ چون طول است، باید $x>0$ باشد. ارتفاع اولیه برابر است با:
$h=3x+2$
پس مساحت اولیه برابر است با:
$S=\frac{x(3x+2)}{2}$

۲. تشکیل معادلهٔ مساحت‌ها
با اضافه‌شدن $4$ واحد به هر دو طول، قاعدهٔ جدید $x+4$ و ارتفاع جدید $3x+6$ می‌شود. بنابراین:
$S_{\text{جدید}}=\frac{(x+4)(3x+6)}{2}$
طبق شرط سؤال:
$\frac{(x+4)(3x+6)}{2}=\frac{9}{2}\times\frac{x(3x+2)}{2}$
با حذف عامل مشترک $\frac{1}{2}$ و ضرب دو طرف در $2$ داریم:
$2(x+4)(3x+6)=9x(3x+2)$
پرانتزها را باز می‌کنیم:
$6x^2+36x+48=27x^2+18x$
پس:
$21x^2-18x-48=0$
با تقسیم بر $3$:
$7x^2-6x-16=0$

۳. حل معادله و بررسی ریشه‌ها
از روش تجزیهٔ معادلهٔ درجهٔ دوم استفاده می‌کنیم که در تمرین‌های کتاب نیز آمده است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۷۶–۷۷):
$(7x+8)(x-2)=0$
بنابراین:
$x=2\quad\text{یا}\quad x=-\frac{8}{7}$
ریشهٔ منفی نمی‌تواند طول قاعده باشد؛ پس قاعده $2$ واحد و ارتفاع برابر است با:
$h=3(2)+2=8$

۴. محاسبهٔ مساحت اولیه
$S=\frac{1}{2}\times2\times8=8$
پس مساحت اولیه $8$ واحد مربع است.

برای کنترل، مساحت جدید برابر $\frac{1}{2}\times6\times12=36$ است و نسبت $\frac{36}{8}=4.5$ شرط سؤال را تأیید می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۱