سوال ۱۱۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

فرض کنیم دو صفر سهمی $x_1<x_2$ و رأس آن $V$ باشد. قاعدهٔ مثلث پاره‌خط بین دو صفر روی محور طول‌هاست و ارتفاع آن، عرض رأس سهمی است.

گام اول: محاسبهٔ قاعده و ارتفاع
در سهمی داده‌شده، ضریب جملهٔ درجهٔ دوم $-8$ و ضریب جملهٔ خطی $a$ است؛ بنابراین نباید پارامتر $a$ را با ضریب درجهٔ دوم اشتباه بگیریم. با استفاده از فرمول مختصات رأس داریم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۰–۸۱):
$x_V=-\frac{a}{2(-8)}=\frac{a}{16}$
و با جای‌گذاری در معادلهٔ سهمی:
$y_V=-8\left(\frac{a}{16}\right)^2+a\left(\frac{a}{16}\right)+1=\frac{a^2+32}{32}$.
این مقدار مثبت است و ارتفاع مثلث را نشان می‌دهد.

برای به‌دست‌آوردن صفرها، معادلهٔ $-8x^2+ax+1=0$ را حل می‌کنیم. طبق فرمول کلی معادلهٔ درجهٔ دوم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۴):
$\Delta=a^2-4(-8)(1)=a^2+32$،
$x_1=\frac{a-\sqrt{a^2+32}}{16},\qquad x_2=\frac{a+\sqrt{a^2+32}}{16}$.
پس طول قاعده برابر است با:
$x_2-x_1=\frac{\sqrt{a^2+32}}{8}$.

گام دوم: استفاده از مساحت مثلث
از رابطهٔ مساحت مثلث داریم:
$\frac12\times\frac{\sqrt{a^2+32}}{8}\times\frac{a^2+32}{32}=\frac{27}{64}$.
بنابراین:
$(a^2+32)\sqrt{a^2+32}=216$.
اگر $t=\sqrt{a^2+32}>0$ بگذاریم، به $t^3=216$ می‌رسیم؛ پس:
$t=6\ \Longrightarrow\ a^2+32=36\ \Longrightarrow\ a^2=4\ \Longrightarrow\ a=\pm2$.

گام سوم: تعیین علامت با شرط ناحیهٔ دوم
چون $\sqrt{a^2+32}>|a|$، یکی از صفرها منفی و دیگری مثبت است. همچنین رأس بالای محور طول‌ها قرار دارد؛ پس مثلث فقط در دو ناحیهٔ اول و دوم قرار می‌گیرد.

دو صفر نسبت به خط گذرنده از رأس، یعنی $x=\frac{a}{16}$، قرینه‌اند؛ بنابراین این خط مثلث را به دو قسمت هم‌مساحت تقسیم می‌کند (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۰–۸۱). اگر این خط سمت چپ محور عرض‌ها باشد، تمام نیمهٔ چپ مثلث و بخشی از نیمهٔ راست آن در ناحیهٔ دوم قرار می‌گیرند؛ پس سهم ناحیهٔ دوم بیشتر می‌شود. در نتیجه باید:
$\frac{a}{16}<0\ \Longrightarrow\ a<0$.
از میان دو مقدار به‌دست‌آمده، مقدار $a=-2$ پذیرفته می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۱