سوال ۱۰۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۰۳ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۱، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۰۳ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۱ · سوال ۱۰۳ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها

به ازای چند مقدار $a$ ، سهمی $y=ax^2+(3+2a)x$ از ناحیه سوم محورهای مختصات نمی‌گذرد؟

گزینهٔ ۱: هیچ مقدار $a$
گزینهٔ ۲: تمام مقادیر $a$
گزینهٔ ۳: $1$
گزینهٔ ۴: $2$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

۱. تبدیل شرط هندسی به شرط علامت
در ناحیهٔ سوم، هر دو مختصه منفی‌اند؛ یعنی $x<0$ و $y<0$ . بنابراین برای رد شرط سؤال، کافی است نشان دهیم نمودار به ازای هر مقدار مجاز $a$ دست‌کم یک نقطه با این ویژگی دارد. ارتباط قرار گرفتن نمودار زیر محور افقی با منفی بودن مقدار عبارت، در ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۰ بررسی شده است.

۲. پیدا کردن نقطه‌ای مستقل از پارامتر
معادله را بازنویسی می‌کنیم:
$y=ax^2+(3+2a)x=a(x^2+2x)+3x=ax(x+2)+3x$ .
برای حذف جملهٔ وابسته به $a$ ، کافی است $x(x+2)=0$ باشد. از میان دو مقدار $x=0$ و $x=-2$ ، مقدار منفی را انتخاب می‌کنیم. با جای‌گذاری داریم:
$y=a(-2)(-2+2)+3(-2)=-6$ .
پس نقطهٔ $(-2,-6)$ برای هر مقدار $a$ روی نمودار قرار دارد. این روشِ یافتن نقطه با جای‌گذاری طول در معادلهٔ سهمی، در ریاضی ۱، صفحه‌های ۷۸–۷۹ نیز به کار رفته است.

۳. نتیجه‌گیری
چون $-2<0$ و $-6<0$ ، این نقطه در ناحیهٔ سوم است؛ پس نمودار برای هر مقدار مجاز پارامتر از ناحیهٔ سوم می‌گذرد و هیچ مقداری شرط سؤال را برآورده نمی‌کند. همچنین طبق تعریف سهمی باید $a\ne0$ باشد (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۹)؛ البته حتی اگر حالت $a=0$ را نیز بررسی کنیم، همان نقطه روی خط حاصل قرار دارد و نتیجه تغییر نمی‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۲: ممکن است با دیدن اینکه نمودار از مبدأ می‌گذرد، تصور کنید وارد ناحیهٔ سوم نمی‌شود؛ اما قرار داشتن یک نقطه روی محور، مانع ورود بخش دیگری از نمودار به ناحیهٔ سوم نیست. نقطهٔ ثابت $(-2,-6)$ برای هر مقدار $a$ روی نمودار است.
گزینهٔ ۳: ممکن است با صفر قرار دادن ضریب $x$ ، مقدار ویژهٔ $a=-\frac{3}{2}$ را تنها جواب بدانید؛ اما در این حالت $y=-\frac{3}{2}x^2$ است و برای هر $x<0$ ، مقدار $y$ نیز منفی است.
گزینهٔ ۴: ممکن است مقادیر ویژهٔ $a=0$ و $a=-\frac{3}{2}$ را به دلیل صفر شدن یکی از ضرایب، دو جواب مسئله بشمارید. اولی اصلاً سهمی نیست و دومی نیز وارد ناحیهٔ سوم می‌شود؛ صفر شدن ضریب به‌تنهایی شرط مسئله را تأمین نمی‌کند.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

ناحیهٔ سوم را با علامت مختصات نقاطش مشخص کنید. ارتباط منفی بودن مقدار تابع و قرار گرفتن نمودار زیر محور افقی را به یاد بیاورید (ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۰).
معادله را به شکل $y=a(x^2+2x)+3x$ بنویسید. آیا می‌توانید طولی منفی پیدا کنید که ضریب $a$ را صفر کند؟
از میان ریشه‌های $x(x+2)=0$ ، ریشهٔ منفی را در معادله قرار دهید. با حذف جملهٔ وابسته به پارامتر، علامت عرض نقطه را بررسی کنید.

فصل «معادله‌ها و نامعادله‌ها» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.