سوال ۲ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: طول رأس را برحسب ضریب سهمی پیدا می‌کنیم.
طبق رابطهٔ رأس سهمی $y=ax^2+bx+c$، طول رأس برابر $x_{\text{رأس}}=-\frac{b}{2a}$ است و با جای‌گذاری آن در معادلهٔ سهمی، عرض رأس به دست می‌آید (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۰–۸۱). در این سؤال $a=k$ و $b=-4$ است؛ همچنین چون نمودار سهمی است، $k\ne0$. بنابراین:
$x_{\text{رأس}}=-\frac{-4}{2k}=\frac{2}{k}$.

گام دوم: عرض رأس را از معادلهٔ سهمی می‌نویسیم:
$y_{\text{رأس}}=k\left(\frac{2}{k}\right)^2-4\left(\frac{2}{k}\right)-6=\frac{4}{k}-\frac{8}{k}-6=-\frac{4}{k}-6$.

گام سوم: شرط قرار داشتن رأس روی خط را به کار می‌بریم. مختصات رأس باید در معادلهٔ $y=-4x-4$ نیز صدق کند؛ پس:
$y_{\text{رأس}}=-4\left(\frac{2}{k}\right)-4=-\frac{8}{k}-4$.
با برابر قرار دادن دو عبارت عرض رأس داریم:
$-\frac{4}{k}-6=-\frac{8}{k}-4\Rightarrow\frac{4}{k}=2\Rightarrow k=2$.

گام چهارم: مقدار به‌دست‌آمده را جای‌گذاری می‌کنیم:
$x_{\text{رأس}}=\frac{2}{2}=1$،
$y_{\text{رأس}}=-4(1)-4=-8$.
پس رأس سهمی نقطهٔ $(1,-8)$ است و عرض آن، یعنی مؤلفهٔ دوم، برابر $-8$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۴